Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Кривые и области на комплексной плоскостиСтр 1 из 2Следующая ⇒ Функции комплексного переменного
Кривые и области на комплексной плоскости
Областью на комплексной плоскости называют множество точек, обладающее следующими свойствами: 1) вместе с каждой точкой из этому множеству принадлежит и достаточно малый круг с центром в этой точке (свойство открытости); 2) любые две точки можно соединить кривой, все точки которой принадлежат (свойство связности). Приведем примеры кривых и областей на комплексной плоскости. 1. Где расположены точки , для которых , если – фиксированное комплексное число, ? Решение. Пусть , . Тогда или . Это уравнение окружности с центром в точке и радиусом . 2. Где расположены точки , для которых , если , ? Решение. Так как , , то данное равенство имеет вид = . После несложных преобразований получим: , где , , . Таким образом, данное равенство определяет прямую . 3. Построить линию . Решение. Так как , то данное уравнение примет вид . Это прямая, проходящая через точку параллельно оси . 4. Неравенство определяет верхнюю полуплоскость . 5. Неравенство определяет круг с центром в точке и радиусом (рис.2). 6. Неравенство определяет круг с «проколотым» центром и радиусом (рис.3). 7. Неравенство определяет кольцо, ограниченное окружностями с центром в точке и радиусами и (рис.4).
Область называется ограниченной, если существует круг такой, что . Ограниченная область называется односвязной, если любую замкнутую кривую, лежащую в , можно непрерывно деформировать в точку, оставаясь в области . Примером односвязной области является область на рис. 2. Области на рис. 3 и рис. 4 не являются односвязными. Пусть в области комплексной плоскости определена комплекснозначная функция , то есть каждой точке поставлено в соответствие комплексное число . Эту функцию можно представить в виде . Таким образом, комплекснозначную функцию комплексного переменного можно рассматривать как пару действительных функций двух действительных переменных, и многие свойства действительных функций естественным образом переносятся на функции комплексного переменного.
|