Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Применение эквивалентных бесконечно малых
Бесконечно малые и называются эквивалентными при , если Обозначается эквивалентность так: . Применение эквивалентных б.м. является очень эффективным способом раскрытия неопределенностей. В основе следующая теорема. Теорема. Пусть функции и являются эквивалентными при . Если существует конечный или бесконечный , то существует , причем . (3) Из этой теоремы следует, что если при , , то ; . Эти равенства означают, что при вычислении пределов множители в числителе или в знаменателе можно заменить на эквивалентные Приведем некоторые пары эквивалентных бесконечно малых величин ; ; ; ; ; .
Пример 1. Вычислить . Решение. Функции являются б.м. при , заменим их эквивалентными б.м.: , при . Тогда . При помощи замены б.м. на эквивалентную удается очень быстро преодолеть те искусственные, иногда громоздкие преобразования, которые нами использовались при раскрытии неопределенностей другими способами. Чтобы убедиться в этом, вернемся к примеру 3, п.3 и вычислим его с помощью эквивалентных б.м.. При , поэтому ; бесконечно малая . Тогда . Преимущества использования бесконечно малых очевидны.
Пример 2. Вычислить . Решение. Обозначим и заметим, что при новая переменная y тоже . Тогда при , т.е. . При б.м. . Тогда . Метод замены переменной, использованный в данном примере, значительно расширяет возможности применения эквивалентных б.м. величин. Замечание. Не рекомендуется заменять под знаком предела слагаемые на эквивалентные им величины. Например, при ; . Если перейти к эквивалентным функциям в примере , то получим . В действительности все обстоит по-другому: . Рассмотренные примеры связаны с неопределенностью , но эквивалентные б.м. можно использовать при раскрытии и других неопределенностей.
Пример 3. Вычислить . Решение. Неопределенность . Применим следующие преобразования: . При , , тогда . В свою очередь, . Поэтому .
Пример 4. Вычислить , где - произвольное положительное число. При данный предел можно вычислить путем умножения и деления на сопряженное выражение. Для других значений такой метод уже не проходит. Используя эквивалентные б.м. этот предел можно вычислить без особого труда. Сначала применим дополнительные преобразования: . Т.к. при , то . Тогда . В зависимости от возможных значений показателя степени функции ведет себя по-разному при . Если , то . Тогда искомый предел равен 0. Если , то он равен , и наконец, если , то , предел равен .
|