Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Метод найменших квадратівПри вивченні закономірностей в деяких дослідженнях інженерної справи, економіки, біології, медицини і т.п. приходиться аналітично описувати (у вигляді формули) зв'язок між двома змінними x та y. Для цього в процесі експериментів, спостережень вимірюють з можливою точністю окремі значення xi і відповідні їм значення yi (i=1,2,…,n), або отримують такі значення як статистичні дані. В результаті маємо таблицю значень (табл. 1).
Таблиця 1
Подібну таблицю можна отримати, наприклад, при дослідженні лінійного розширення стержня в залежності від температури, якщо коефіцієнт лінійного розширення данного матеріалу невідомий, тоді x1, x2,…, xn – виміряні значення температури, а y1, y2,…,yn – відповідні їм значення довжини. Побудуємо у вибраній системі координат XOY точки Mi(xi, yi), координати яких відповідають даним таблиці 1 (див. рис. 1).
Тепер виникає необхідність вибору відповідної функції y=f(x), яка б описувала зв'язок між x і y. Таку функцію називають емпіричною. В загальному випадку вибір емпіричної функції не є однозначним. Можна знайти лінію, яка б проходила через кожну з точк Mi, це може бути так званий інтерполяційний многочлен (на рис. 1 це пунктирна лінія), порядок якого буде досить високим (на одиницю меншим, ніж кількість точок в таблиці). Крім того, дані таблиці 1 можуть бути не досить точними внаслідок наявності похибок вимірювання, а також впливу інших факторів, які ми не завжди можемо врахувати. Тому дослідники віддають перевагу більш простим і зручнішим функціям, таким, як лінійна , квадратична , показникова , гіперболічна і ін. Вибрана функція повинна "найкращим" чином згладжувати експериментальні дані. В залежності від того, як вводиться поняття "найкраще згладжування" встановлюється той чи інший метод вибору емпіричної залежності (на рис. 1 – суцільна лінія). Найбільш часто застосовується так званий метод найменших квадратів, який дозволяє знаходити параметри вибраної залежності Позначимо через відхилення емпіричної функції в точці від відповідного табличного (експериментального) значення . Зрозуміло (див. рис. 1), що можуть бути для одних додатніми, а для інших від'ємними. Тому їх сума може навіть дорівнювати нулю. Краще було б брати суму їх абсолютних величин але досліджувати суму, яка містить модулі величин складніше, ніж суму квадратів цих величин. Тому зупиняються на останньому Параметри функції вибирають так, щоб сума квадратів S приймала найменше значення. 10. Розглянемо випадок, коли лінійна функція з невідомими параметрами a i b. Тоді величина відхилення
, а сума їх квадратів (14.1) є функцією двох змінних a i b (xi, yi – це числа із таблиці 1). Відомо, що S (a,b) приймає мінімальне значення при тих значеннях a i b, при яких частинні похідні по цих змінних дорівнюють нулю, тобто коли Із (14.1) знаходимо: Прирівнюючи до нуля частинні похідні, отримуємо систему рівнянь:
(14.2)
Система (14.2) називається нормальною системою методу найменших квадратів. Розв'язуючи систему рівнянь (14.2), знаходимо числа a i b, які підставляємо в рівняння що і дає формулу шуканої залежності. Отже під "найкращим" згладжуванням експериментальних даних в даному випадку вважається лінійна функція, параметри якої знайдені за методом найменших квадратів. Метод найменших квадратів був запропонований німецьким математиком К. Гауссом. Приклад 1. З різних дільниць шахт у вигляді таблиці отримані середні дані за квартал про залежність між собівартістю 1 тони залізної руди (в грошових одиницях) і глибиною добування (розробки, в метрах) (табл.2). Таблиця 2
Припускаючи, що між змінними x i y існує лінійна залежність, знайти емпіричну формулу за методом найменших квадратів. Розв'язання. Для зручності побудуємо обчислювальну таблицю (табл. 3). Таблиця 3
За значеннями сум таблиці складаємо нормальну систему методу найменших квадратів: Зауважимо при цьому, що кількість точок в таблиці n=7. Систему розв'яжемо за формулами Крамера Таким чином, емпірична формула залежності між глибиною розробки і собівартістю однієї тони залізної руди має такий вигляд: Із формули видно, що із збільшенням глибини розробки на 100 метрів собівартість 1 тони залізної руди в середньому зростає на грошової одиниці. Тепер згідно емпіричної формули обчислимо для відповідних значень xi теоретичні значення y(xi) і для порівняння заповнимо нову таблицю значень (табл. 4). Таблиця 4
Для більшої наочності побудуємо в системі координат XOY точки за даними таблиці 4 і пряму лінію Точки (xi,y(xi)) належать прямій лінії, а точки (xi, yi) на графіку (позначені кружочками) розміщені вздовж лінії з певними відхиленнями від прямої.
20. Зглажування квадратичною функцією експериментальних даних. Зауважимо, що метод найменших квадратів застосовується для знаходження параметрів після того, коли вигляд функції y=f(x) встановлений. Але якщо з теоретичних міркувань неможна зробити певного висновку, якою повинна бути емпірична формула, то її вигляд наочно визначають із графічних зображень експериментальних даних. Так із рис. 1 суцільна лінія, яка проходить поміж точок M1, M2, M3,…,Mi,…,Mn нагадує параболу Тому у випадку квадратичної функції знаходимо мінімум суми як функції трьох змінних a, b, c, при яких частинні похідні її повинні дорівнювати нулю Знаходимо частинні похідні: Прирівнюючи кожну з похідних до нуля отримуємо систему лінійних відносно a, b, c рівнянь:
(14.3)
Приклад 2. Застосовуючи метод найменших квадратів знайти значення параметрів функції якщо відомі такі значення змінних (див. табл. 5).
Таблиця 5
Розв’язання. Для наочності побудуємо точки за даними таблиці 5 в системі XOY (див. рис.3), розміщення яких нагадує параболу, для знаходження параметрів якої заповнюєм обчислювальну таблицю 6. Таблиця 6
Підставляючи значення сум із табл.6 в (14.3) отримуємо лінійну систему рівнянь відносно параметрів a, b, c:
(14.4) Систему (14.4) можна розв'язати, наприклад, шляхом виключення невідомої з наступним розв'язуванням нової системи відносно . Наводимо готові результати: Шукана функція матиме вигляд: Рис.3 30. Вирівнювання дослідних даних за гіперболою здійснюється за допомогою заміни В такому разі в таблицю значень потрібно доповнити значеннями Таблиця 7
Після цього знаходиться мінімум функції яка має такий же вигляд, як функція (14.1), і тому відповідна система запишеться: (14.5) Для отримання системи (14.5) складається відповідна обчислювальна таблиця відносно значень з якої знаходять необхідні для системи суми. Після знаходження отримуємо функцію 40. Вирівнювання дослідних даних за показниковою функцією здійснюється за допомогою логарифмування і подальшою заміною Тоді отримаємо лінійну залежність параметри якої знаходимо за розглянутим вище методом найменших квадратів. Приклад 3. За даними таблиці 8 знайти параметри залежності Таблиця 8
Розв'язання. Побудуємо точки відповідно таблиці 8 (див. рис.4).
Рис.4
Складаємо обчислювальну таблицю Таблиця 9
За даними сум таблиці 9 маємо систему: для якої знаходимо визначники Згідно формул Крамера знаходимо Отже маємо лінійну функцію Поскільки то Таким чином, відповідно до таблиці 8 і рис. 4 ми знайшли показникову залежність
|