Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Производная по направлениюПусть в пространственной области задана функция трех переменных . Выберем в этой области две точки: и (знаки приращений и могут быть произвольными) и проведем вектор (см. рис.).
Этот вектор является диагональю параллелепипеда со сторонами . Очевидно, его длина равна . Будем считать, что функция дифференцируема и запишем полное приращение при переходе от точки к точке в виде
, (3.10.1)
где и стремятся к нулю, если . Разделим все члены в (3.10.1) на : .
. (3.10.2)
Очевидно, – направляющие косинусы вектора . Пусть теперь . Величину называют производной функции в точке по направлению вектора . Таким образом,
. (3.10.3)
Из этой формулы следует, что производная функции по любому направлению может быть вычислена, если известны все ее частные производные. Сами же частные производные являются производными по некоторым направлениям. Например, если выбрать в качестве заданного направления положительное направление оси , то , тогда и
Аналогично производные и являются производными вдоль положительных направлений координатных осей и .
Пример. а) Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью угол º; б) Найти производную функции в точке в направлении вектора ; в) Найти производную функции в точке в направлении, составляющим одинаковые острые углы с направлениями координатных осей.
Решение. а) Прежде, чем привести решение этой задачи, заметим, что формула (3.10.3) пригодна и для функций двух переменных. Для этого достаточно положить , т.е. исключить в этой формуле третье слагаемое. Итак, в нашем случае º, º, т.е. .
.
Тогда
б) Сначала найдем направляющие косинусы вектора .
.
Теперь вычислим частные производные:
.
В точке эти производные равны
. Итак,
.
в) Воспользуемся тем, что и .
Отсюда, т.к. углы – острые, то .
.
Окончательно получаем .
|