Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Разложение функций по формуле МаклоренаФункцию f (x), имеющую (n + 1) производных в точке х = 0, можно представить по формуле Маклорена вместе с остаточным членом: Формула (5.2) дает возможность разложить функцию f (x) по формуле Маклорена (в окрестности нуля) или, что то же самое, представить f (x) в виде многочлена, коэффициенты которого вычисляются достаточно просто. Эта формула широко используется и для приближенных вычислений значений различных функций; при этом погрешность вычислений оценивается по остаточному члену о (xn). Рассмотрим примеры разложения функций по формуле Маклорена. 1. f (x) = еx. Поскольку (ex)(n) = eх, f(n) (0) = е 0 = 1 для любого п, формула Маклорена (5.2) имеет вид Формула (5.3) используется для вычисления числа е с любой необходимой точностью. Отсюда при х = 1 получаем приближенное значение числа е ≈ 2,7182818.... 2. f (x) = sin x. Нетрудно проверить, что f(n)(x) = sin ; отсюда имеем Подстановка в формулу (5.3) приводит к выражению 3. f (x) = cos x. По аналогии с функцией синуса имеем , откуда получаем Подстановка в формулу (5.2) приводит к разложению по формуле Маклорена: 4. f(x) = ln (l + х). Так как , то f (0) = 0, ; подстановка в формулу (5.2) приводит к разложению функции ln (1 + x) по формуле Маклорена (при этом 0! = 1): 5. f (x) = (1 + x)α, где α — вещественное число. Производная n -го порядка имеет вид f(n) (x) = α(α - 1)(α - 2)... (α - n +1)(1 + x) α- n , т.е. f(n) (0) = α(α — 1)... (α - п + 1), и формула Маклорена для данной функции такова: В частном случае, когда α = п — целое число, имеем f (n + l) = 0 и формула (5.7) переходит в формулу бинома Ньютона: т.е. бином Ньютона является частным случаем формулы Маклорена.
|