Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка.Определение: линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка будем называть уравнение вида: , где - непрерывные функции. Определение: функции будем называть линейно зависимыми, если существуют коэффициенты , не все равные нулю, такие, что: . Определение: функции называются линейно независимыми, если выполнение равенства возможно лишь в случае . Замечание: эти определения линейной зависимости и линейной независимости функций естественным образом обобщаются на произвольное число функций. Если функции линейно зависимы, то одну из них можно выразить через другую, а именно , и наоборот. Пример: покажем, что функции линейно независимы, если . Пусть , и при этом выполнено равенство: Это равенство никогда не может быть тождественно выполнено, поскольку в левой части постоянная величина, а в правой части, в силу , находится функция, экспоненциально зависящая от переменной х. Теорема: если - это два линейно независимые решения уравнения , то общее решение этого дифференциального уравнения может быть представлено в виде: . Покажем, что является решением дифференциального уравнения: Выражения в скобках равны нулю, поскольку - это решения исходного уравнения, следовательно сумма равна нулю. А поскольку решение содержит две произвольные постоянные - это решение является общим. Замечание: можно доказать также, что у дифференциального уравнения любое решение имеет вид .
|