Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Определители n-го порядкаОпределение. Определителем n-го порядка называется число, записываемое в виде: Вычисляется как сумма произведений элементов какого-либо столбца (строки) на их алгебраические дополнения, т.е. вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению n определителей порядка (n-1). Все перечисленные выше свойства относятся к определителям любого порядка (также определение минора и алгебраического дополнения). Ранг матрицы. Определение. Пусть А – некоторая матрица. Выделим в ней произвольно k строк и k столбцов. Определитель k-того порядка, составленный из элементов, находящихся на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором k-того порядка матрицы А. Пир этом строки и столбцы этого определителя должны быть расположены относительно друг друга в том же порядке, что и в матрице. Каждый элемент матрицы будем рассматривать как её минор первого порядка. Пример. Составить всевозможные миноры третьего порядка матрицы и какой-нибудь минор второго порядка. Решение. Для получения миноров третьего порядка надо выделить все три строки матрицы и какие-нибудь три её столбца. Таких миноров будет четыре:
Выделим теперь в той же матрице первую и третью строки и второй и третий столбцы. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют минор второго порядка рассматриваемой матрицы: Рангом матрицы назовём наивысший порядок её минора, отличного от нуля. Другими словами, целое число r > 0 называется рангом матрицы, если среди миноров r-того порядка этой матрицы есть хотя бы один, отличный от нуля, а все миноры более высокого порядка равны нулю. Пример. В предыдущем примере миноров порядка выше третьего данная матрица не имеет, все миноры третьего порядка равны нулю, а минор М второго порядка отличен от нуля. Поэтому ранг её равен двум: r (A)=rang A=2. Вычисление ранга матрицы непосредственно по его определению, вообще говоря, громоздко так как приходится вычислять большое число миноров. Рассмотрим другой способ, основанный на приведении матрицы к ступенчатому виду. Матрицу А называют ступенчатой, если: а) любая её строка имеет хотя бы один отличный от нуля элемент; б) первый отличный от нуля элемент каждой её строки, начиная со второй, расположен правее неравного нулю элемента предыдущей строки. Пример. Матрицы и являются ступенчатыми (или имеют ступенчатый вид), а матрицы
ступенчатыми не являются. Назовём элементарными преобразованиями матрицы следующие преобразования её строк: 1) перестановку двух каких-нибудь строк; 2) умножение элементов какой-нибудь строки на чисо, отличное от нуля; 3) прибавление к элементам какой-нибудь строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на некоторое (одно и тоже) число. Поясним эти преобразования примером: Способ вычисления ранга произвольной матрицы будет вытекать непосредственно из следующих утверждений: 1). При элементарных преобразованиях и отбрасывании нулевой строки (т. е. строки, у которой все элементы равны нулю) ранг матрицы не изменяется. 2). Всякую ненулевую матрицу можно привести к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований и выбрасывания нулевых строк. 3). Ранг ненулевой матрицы равен числу строк ее ступенчатого вида. Пример. Вычислить ранг матрицы А путём приведения её к ступенчатому виду. Проведём следующие элементарные преобразования: . Отсюда видно (так как ), что ранг данной матрицы А равен двум. Обратная матрица Пусть А – квадратная матрица n-го порядка. E – единичная матрица того же порядка. Матрица B называется правой обратной к A, если AB = E Матрица С называется левой обратной к A, если CA = E Очевидно, что матрицы B и C – тоже квадратные. Покажем, что если B и C существуют, то они совпадают между собой. AB = E CA = E C = CE = C(AB) = (CA)B = EB = B Теорема. Для того, чтобы к матрице A существовали левая и правая обратные матрицы, необходимо и достаточно, чтобы и ). Определение: Квадратная матрица , определитель которой отличен от нуля, называется невыроженной. Если - обратная к и - обратная к , обозначим =
|