Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Классическая и уточненная теория изгиба прямоугольных пластин⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 12
Рассмотрим пластину в декартовой системе координат (, , ), где h - размеры пластины вдоль координатных осей). Будем излагать одновременно две теории: классическую (слева) и уточненную (справа). Эти теории основаны на следующих гипотезах: 1. Линейная деформация в поперечном направлении (обжатие) отсутствует (2.99) где - перемещение по оси ; 2. Сдвиговые деформации в перпендикулярных плоскостях пластины изменяются по заданным законам
(2.100)
где , - перемещения по осям , соответственно; - параметр поперечного сдвига; - обобщенный модуль упругости; - модуль сдвига материала пластины; - функция распределения поперечных сдвигов. 3. Нормальное напряжение по оси (давление слоев) отсутствует (2.101) 4. Горизонтальная плоскость пластины () не испытывает деформацию растяжения (сжатия) (2.102)
Принятые гипотезы позволяют свести трехмерную задачу к двухмерной. Интегрируя (2.63), (2.64) и учитывая при этом (2.66) имеем компоненты перемещений
(2.103)
где - функция прогибов пластины; - функция распределения тангенциальных перемещений. На основании (2.63) определяются компоненты деформации
(2.104)
Компоненты напряжений, вычисленные по обобщенному закону Гука с учетом гипотезы (2.61) имеют вид
где - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала пластины. Поперечные касательные напряжения, полученные интегрированием уравнений равновесия в напряжениях
с учетом напряжений (2.6) и граничных условий при , равны
(2.105)
где - функция распределения поперечных касательных напряжений; - оператор Лапласа. Внося их в уравнение равновесия в напряжениях и интегрируя его с учетом граничного условия при , получим выражения для
(2.106)
где - функция распределения поперечных нормальных напряжений; - бигармонический оператор. Разрешающее уравнение для определения функции прогибов вытекает из условия , при с учетом (2.106) (2.107) где - обобщенная цилиндрическая жесткость пластины. Определим интегральные характеристики · Перемещений (2.103)
(2.108) где - параметр цилиндрической жесткости; · Напряжений(2.104) и (2.105)
(2.109)
где - изгибающие моменты; - крутящий момент; - поперечные силы. На основании их представим · Перемещений (2.103)
(2.110) · Напряжений (2.104), (2.105) и (2.106)
(2.111)
Граничные условия для края пластины вытекают из условия равновесия пластины (2.112) где А – полная работа контурных условий. Для определения параметра поперечного сдвига определим поперечные силы с использованием напряжений (2.104) (2.113) где А – жесткость пластины при поперечном сдвиге. Равенство поперечных сил (2.109) и (2.113) будут выполняться при следующих условиях , (2.114) где первое уравнение (уравнение свободных колебаний мембраны), предназначено для определения параметра . Учитывая (2.108) и (2.113) из (2.114) имеем , (2.115) следовательно параметр (2.108) имеет вид (2.116) Решение первого уравнения (2.114) представим в виде (2.117) где - максимальный прогиб мембраны; - известные балочные функции. На основании (2.117) уравнение свободных колебаний мембраны имеет вид Разделяя переменные, запишем его в виде (2.118) При выполнении следующих уравнений (2.119) где первое и второе уравнение устойчивости стержней, направленных вдоль координатных осей и . На основании (2.119) собственное число мембраны (2.118) равно (2.120) Приведем результаты решения первого уравнения (2.119) для случаев: 1. Концы стержня шарнирно оперты (2.121) 2. Один конец защемлен, другой свободен (2.122) 3. Концы стержня защемлены (2.123) Варьируя результаты (2.121)-(2.123) можно найти по формуле (2.120) результаты для мембраны, совпадающей с пластиной. Так 1. для пластины шарнирно опертой по контуру (2.124) где - волновые числа вдоль осей и ; 2. для пластины, шарнирно опертой по сторонам и защемленной по сторонам (2.125) 3. для пластины при выполнении условий (2.122) для сторон и (2.126) Аналогичным образом можно получить результаты для параметра при других граничных условиях. Таким образом, предложенная уточненная теория пластины позволяет легко учесть поперечные сдвиги по классической теории пластин с введением только параметра поперечного сдвига.
|