Енергетична структура електронів. Наближення слабкого зв’язку

Метод запропонований Бріллюеном в 1930 р. Він базується на функціях Блоха і періодичному потенціалі у формі рядів Фур’є.

Подальше спрощення задачі – це наближення майже вільних електронів, тобто потенціальна енергія електрона в кристалі мала порівняно з його кінетичною енергією.

Спочатку розглядають задачу для вільного електрона (V_g = 0, T_h = 0). Отримаємо

в нульовому наближенні.

Добавка в першому наближенні дорівнює нулю. Є добавка E ' другого порядку малості.

Є важливий випадок, коли знаменник в останньому члені наближається до нуля.

(1)

Ця рівність задовольняє умову брегівського відбивання. Вона виконується лише для певного напрямку вектора k для деякого вектора трансляцій в оберненій ґратці T_g.

Отримаємо на всіх границях зони Бріллюена розрив

Отже, енергія електрона терпить розрив величиною 2| V_g |.

При цьому ізоенергетичні поверхні повинні бути ортогональними до границь зон Бріллюена, на яких вони зазнають розриву. Енергетичний спектр електрона набуває зонного характеру.

Розглянемо фізичний зміст умови (1). k = 2π/λ, T_g = 2π l/d, l – ціле число, d – відстань між сусідніми площинами прямої ґратки, до яких вектор T_g перпендикулярний. Позначимо кут між k і T_g через θ. Тоді з рівності (1) отримаємо 2 d cos θ = lλ. – умова Вульфа-Брегга.