Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Задача № 315Стр 1 из 2Следующая ⇒ Контрольная работа № 6. Вариант 5 Задача № 305. а) Решить задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка: ; Решение: Преобразуем уравнение к виду , . Полагаем, что , тогда Подставляя это выражение в уравнение, получим: Это уравнение с разделяющимися переменными. Делаем обратную замену: - общее решение исходного дифференциального уравнения. Найдем используя начальные условия . Итак, окончательно получим:
б) Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка: Решение: В уравнение не входит . Обозначим . Тогда Исходное уравнение примет вид: Это уравнение с разделяющимися переменными. Делаем обратную замену: Итак, общее решение исходного дифференциального уравнения:
Задача № 315. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальным условиям: ; ; Решение: Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения данного неоднородного уравнения. Для данного уравнения однородным уравнением является уравнение Составляем характеристическое уравнение: Общее решение соответствующего однородного уравнения: Рассмотрим правую часть: Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: f(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), (где P(x), Q(x) - некоторые полиномы) имеет частное решение: y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx)) где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x). Для нашей задачи P(x) =0, Q(x) = 52, α = 0, β = 2. Число α + βi = 2i не является корнем характеристического уравнения. Итак, уравнение имеет частное решение вида: Вычисляем производные: которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
Получим систему:
Частное решение имеет вид: Общее решение исходного уравнения: Найдем решение задачи Коши ; .
Окончательно получаем:
|