Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Пифагоровы числаУдобный и очень точный способ, употребляемый землемерами для проведения на местности перпендикулярных линий, состоит в следующем. Пусть через точку А требуется к прямой MN провести перпендикуляр (рис. 13). Рис. 13. Откладывают от А по направлению AM три раза какое-нибудь расстояние а. Затем завязывают на шнуре три узла, расстояния между которыми равны 4 а и 5 а. Приложив крайние узлы к точкам А и В, натягивают шнур за средний узел. Шнур расположится треугольником, в котором угол А – прямой. Этот древний способ, по-видимому, применявшийся еще тысячелетия назад строителями египетских пирамид, основан на том, что каждый треугольник, стороны которого относятся, как 3: 4: 5, согласно общеизвестной теореме Пифагора, – прямоугольный, так как 32 + 42 = 52. Кроме чисел 3, 4, 5, существует, как известно, бесчисленное множество целых положительных чисел а, b, с, удовлетворяющих соотношению a 2 + b 2 = c 2. Они называются пифагоровыми числами. Согласно теореме Пифагора такие числа могут служить длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника; поэтому а и b называют "катетами", а с – "гипотенузой". Ясно, что если а, b, с есть тройка пифагоровых чисел, то и ра, рb, рс, где р – целочисленный множитель, – пифагоровы числа. Обратно, если пифагоровы числа имеют общий множитель, то на этот общий множитель можно их все сократить, и снова получится тройка пифагоровых чисел. Поэтому будем вначале исследовать лишь тройки взаимно простых пифагоровых чисел (остальные получаются из них умножением на целочисленный множитель р). Покажем, что в каждой из таких троек а, b, с один из "катетов" должен быть четным, а другой нечетным, Станем рассуждать "от противного". Если оба "катета" а и b четны, то четным будет число a 2 + b 2, а значит, и "гипотенуза". Это, однако, противоречит тому, что числа а, b, с не имеют общих множителей, так как три четных числа имеют общий множитель 2. Таким образом, хоть один из "катетов" а, b нечетен. Остается еще одна возможность: оба "катета" нечетные, а "гипотенуза" четная. Нетрудно доказать, что этого не может быть. В самом деле: если "катеты" имеют вид 2 х + 1 и 2 y + 1, то сумма их квадратов равна , т. е. представляет собой число, которое при делении на 4 дает в остатке 2. Между тем квадрат всякого четного числа должен делиться на 4 без остатка. Значит, сумма квадратов двух нечетных чисел не может быть квадратом четного числа; иначе говоря, наши три числа – не пифагоровы. Итак, из "катетов" а, b один четный, а другой нечетный. Поэтому число a 2 + b 2 нечетно, а значит, нечетна и "гипотенуза" с. Предположим, для определенности, что нечетным является "катет" а, а четным b. Из равенства a 2 + b 2 = c 2 мы легко получаем: a 2 = c 2 – b 2 = (c + b)(c – b). Множители с + b и с – b, стоящие в правой части, взаимно просты. Действительно, если бы эти числа имели общий простой множитель, отличный от единицы, то на этот множитель делились бы и сумма , и разность , и произведение , т. е. числа 2 с, 2 b и а имели бы общий множитель. Так как а нечетно, то этот множитель отличен от двойки, и потому этот же общий множитель имеют числа а, b, с, чего, однако, не может быть. Полученное противоречие показывает, что числа с + b и с – b взаимно просты. Но если произведение взаимно простых чисел есть точный квадрат, то каждое из них является квадратом, т. е. Решив эту систему, найдем: , Итак, рассматриваемые пифагоровы числа имеют вид , где m и n – некоторые взаимно простые нечетные числа. Читатель легко может убедиться и в обратном: при любых нечетных m и п написанные формулы дают три пифагоровых числа а, b, с. Вот несколько троек пифагоровых чисел, получаемых при различных т и п: при т = 3, n = 1 32 + 42 = 52 (Все остальные тройки пифагоровых чисел или имеют общие множители, или содержат числа, бóльшие ста.) Пифагоровы числа обладают вообще рядом любопытных особенностей, которые мы перечисляем далее без доказательств: 1) Один из "катетов" должен быть кратным трем. Читатель может удостовериться в наличии этих свойств, просматривая приведенные выше примеры групп пифагоровых чисел. <Paaaa
|