Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Покупка свитераЗАДАЧА Вы должны уплатить за купленный в магазине свитер 19 руб. У вас одни лишь трехрублевки, у кассира – только пятирублевки. Можете ли вы при наличии таких денег расплатиться с кассиром и как именно? Вопрос задачи сводится к тому, чтобы узнать, сколько должны вы дать кассиру трехрублевок, чтобы, получив сдачу пятирублевками, уплатить 19 рублей. Неизвестных в задаче два – число (х) трехрублевок и число (у) пятирублевок. Но можно составить только одно уравнение: 3 х – 5 y = 19. Хотя одно уравнение с двумя неизвестными имеет бесчисленное множество решений, но отнюдь еще не очевидно, что среди них найдется хоть одно с целыми положительными х и у (вспомним, что это – числа кредитных билетов). Вот почему алгебра разработала метод решения подобных "неопределенных" уравнений. Заслуга введения их в алгебру принадлежит первому европейскому представителю этой науки, знаменитому математику древности Диофанту, отчего такие уравнения часто называют "диофантовыми". РЕШЕНИЕ На приведенном примере покажем, как следует решать подобные уравнения. Надо найти значения х и у в уравнении 3 х – 5 y = 19, зная при этом, что х и у – числа целые и положительные. Уединим то неизвестное, коэффициент которого меньше, т. е. член 3 х; получим: 3 х = 19 + 5 y, откуда . Так как х, 6 и у – числа целые, то равенство может быть верно лишь при условии, что есть также целое число. Обозначим его буквой t. Тогда х = 6 + y + t, где , и, значит, 3 t = 1 + 2 у, 2 y = 3 t – 1. Из последнего уравнения определяем у: . Так как у и t – числа целые, то и должно быть некоторым целым числом t 1. Следовательно, y = t + t 1, причем t 1 = , откуда 2 t 1 = t – 1 и t = 2 t 1 + 1. Значение t = 2 t 1 + 1 подставляем в предыдущие равенства: y = t + t 1 = (2 t 1 + 1) + t 1 = 3 t 1 + 1, Итак, для х и у мы нашли выражения [Строго говоря, мы доказали только то, что всякое целочисленное решение уравнения 3 х – 5 у = 19 имеет вид x = 8 + 5 t 1, y = l + 3 t 1, где t 1 – некоторое целое число. Обратное (т. е. то, что при любом целом t 1 мы получаем некоторое целочисленное решение данного нам уравнения) доказано не было. Однако в этом легко убедиться, проводя рассуждения в обратном порядке или подставив найденные значения х и у в первоначальное уравнение.] x = 8 + 5 t 1, Числа х и у, мы знаем, – не только целые, но и положительные, т. е. бóльшие чем 0. Следовательно, 8 + 5 t 1 > 0, Из этих неравенств находим: 5 t 1 > –8 и t 1 > – , Этим величина t 1 ограничивается; она больше чем (и, значит, подавно больше чем ). Но так как t 1 – число целое, то заключаем, что для него возможны лишь следующие значения: t 1 = 0, 1, 2, 3, 4,... Соответствующие значения для х и у таковы: x = 8 + 5 t 1 = 8, 13, 18, 23,..., Теперь мы установили, как может быть произведена уплата: вы либо платите 8 трехрублевок, получая одну пятирублевку сдачи: 8 ·3 – 5 = 19, либо платите 13 трехрублевок, получая сдачи 4 пятирублевки: 13 ·3 – 4 ·5 = 19 и т. д. Теоретически задача имеет бесчисленный ряд решений, практически же число решений ограничено, так как ни у покупателя, ни у кассира нет бесчисленного множества кредитных билетов. Если, например, у каждого всего по 10 билетов, то расплата может быть произведена только одним способом: выдачей 8 трехрублевок и получением 5 рублей сдачи. Как видим, неопределенные уравнения практически могут давать вполне определенные пары решений. Возвращаясь к нашей задаче, предлагаем читателю в качестве упражнения самостоятельно решить ее вариант, а именно рассмотреть случай, когда у покупателя только пятирублевки, а у кассира только трехрублевки. В результате получится такой ряд решений: x = 5, 8, 11,..., Действительно, 5 ·5 – 2 ·3 = 19, Мы могли бы получить эти результаты также и из готового уже решения основной задачи, воспользовавшись простым алгебраическим приемом. Так как давать пятирублевки и получать трехрублевки все равно, что " получать отрицательные пятирублевки" и " давать отрицательные трехрублевки", то новый вариант задачи решается тем же уравнением, которое мы составили для основной задачи: 3 х – 5 y = 19, но при условии, что x и у – числа отрицательные. Поэтому из равенств x = 8 + 5 t 1, мы, зная, что х < 0 и у < 0, выводим: 8 + 5 t 1 < 0, и, следовательно, . Принимая t 1 = –2, –3, –4 и т. д., получаем из предыдущих формул следующие значения для х и у: t 1 = –2, –3, –4, Первая пара решений, х = –2, у = –5, означает, что покупатель "платит минус 2 трехрублевки" и "получает минус 5 пятирублевок", т. е. в переводе на обычный язык – платит 5 пятирублевок и получает сдачи 2 трехрублевки. Подобным же образом истолковываем и прочие решения. <Paaaa
|