V Пример. В формуле x(P1(x)ÉQ1(x)) предметная переменная x, имеющая три вхождения, является связанной в каждом из них

В формуле "x(P¹(x)ÉQ¹(x)) предметная переменная x, имеющая три вхождения, является связанной в каждом из них. В формуле $x(P²(x,y)ÙQ¹(y)) переменная x связана в каждом из двух случаев своего вхождения, а переменная y не связана в каждом из двух случаев своего вхождения.

Предметная переменная называется свободной в некоторой формуле, если имеется хотя бы одно её свободное вхождение в эту формулу, и связанной, если имеется хотя бы одно её связанное вхождение в эту формулу. Т. е. предметные переменные в формулах логики предикатов могут оказываться одновременно свободными и связанными. Соответственно, в формуле "x(P²(x,y)É$yQ¹(y)) одновременно свободной (в подформуле P²(x,y)) и связанной (в подформуле $yQ¹(y)) является предметная переменная y. Для обеспечения целей логического анализа результирующие термы первопорядкового языка логики предикатов не должны содержать в своём составе переменных (т. е. быть замкнутыми термами), соответственно, не должны содержать в своём составе свободных предметных переменных и формулы (т. е. быть замкнутыми формулами). Существуют следующие правила приписывания значений выражениям естественного языка, характерные для логики предикатов 1-го порядка:

1. Правила интерпретации — задания возможных значений предметных переменных и приписывания предметных значений предметным, предметно-функциональным и предикаторным постоянным той или иной формулы. Интерпретация начинается с выбора некоторого непустого множества индивидов (обозначим его символом «D»), которое называется областью интерпретации (универсумом рассуждения). В качестве такой области можно брать любое непустое множество, например, множество людей, чисел, планет и т. д.; возможно также объединение в одной области множеств различных предметов. Соответственно, нелогическим постоянным языка логики предикатов осуществляется приписывание значений в множестве D, т. е. задание особой семантической функции (обозначим её символом «I»), называемой интерпретационной. Задание I в каждом конкретном случае есть указание на то, какие именно значения должны быть приписаны исходным символам языка в составе рассматриваемых формул. Предметным постоянным (термам) приписываются в качестве предметных значений определённые предметы из D. Предикаторным постоянным приписываются некоторые свойства (в случае одноместности), а в случае многоместности — отношения. Предметным функторам в качестве предметного значения интерпретационная функция приписывает какую-нибудь n-местную предметную функцию, определённую на области D. Таким образом, чтобы осуществить процедуру интерпретации нелогических постоянных языка логики предикатов, необходимо выбрать некоторый универсум рассуждения D и функцию I, при этом пару <D,I> называют моделью классической логики предикатов. Модель классической логики предикатов — это любая пара <D,I>, в которой D — непустое множество, а I — интерпретационная функция. Приписывание значений предметным переменным происходит независимо от интерпретации нелогических постоянных, при этом каждой предметной переменной в качестве значения приписывается произвольный элемент множества D.

2. Правила приписывания истинностных значений интерпретированным формулам, не содержащим свободных переменных. Каждая интерпретированная формула есть определенное со стороны смысла и истинности высказывание, что осуществляется лишь при условии, если известны значения встречающихся в ней логических постоянных. При этом истинностное значение элементарного высказывания определяется в зависимости от заданных значений термов и предикаторной постоянной. Оно зависит от характера предметов в данной предметной области.