![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Динамические расчеты стержневых системСтр 1 из 2Следующая ⇒ При расчетах конструкций на устойчивость используем уравнение (5.1), в котором матрица жесткости Матрица масс для отдельного конечного элемента (Рис.5.15)
где компонент матрицы масс конечного элемента. Функции Вычисляя по (5.16), (5.5), при
Расчетная схема принята в виде трех конечных элементов (смотри рис.5.17): левая стойка, ригель и правая стойка. Неизвестными считаем: горизонтальное перемещение ригеля Z1, угол поворота лево С помощью (5.7), вычисляются элементы матрицы жесткости K. Элементы матрицы масс вычисляются с помощью (5.17): При вычислении элемента m11 матрицы масс учтена масса ригеля рамы: как масса тела, перемещаемого горизонтально.
Таким образом, матрица масс для системы показанной на рис.5.16:
Матрица жесткости определяется формулой (5.9)
Уравнение движения системы без учета затухания колебаний и внутренних сил статического сжатия получаем из (5.1):
К решению уравнения (5.18) применим метод разложения по собственным формам. Ищем
где
Подставим (5.19) в (5.18) и умножим результат на матрицу
учитывая (5.20) и
где
где Записав (5.22) в обычной, а не в матричной форме, получаем
систему независимых обыкновенных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов Решение уравнения (5.23) для случая
и называется импульсной переходной функцией (ИПФ) для консервативной системы, Решение уравнения (5.22) при произвольном bj(t) выражается интегралом Дюамеля:
В матричной форме выражение (5.25) примет вид:
где - диагональная матрица. После подстановки (5.26) в (5.19) получаем
Выражение (5.27) дает решение задачи, если известны матрицы собственных векторов Ф и матрица собственных чисел В разделе 1.3 предложен метод итераций для определения всех собственных чисел и всех собственных векторов некоторой симметричной матрицы А. Проблема сводится к решению уравнений:
Приведем уравнения (5.20), (5.21) к виду (5.28)
где Полученные выражения имеют вид (5.28):
и их можно решить методом итераций. Решение (5.27) преобразуем с помощью (5.29), получим:
Упростим полученное выражение. Рассмотрим произведение матриц:
Обозначим
и назовем эту матрицу парциальная матрица собственных форм. Решение (5.27) можно записать в виде:
Итак, необходимо найти все собственные числа и собственные векторы матрицы В разделе 1.4 функции матриц определены следующим образом:
где Ф – матрица собственных векторов и Находим матрицу собственных чисел
По формуле (5.29) вычисляем Решение задачи выражается формулой (5.31)
или
Обозначим
Для определения расчетных изгибающих моментов воспользуемся единичной матрицей изгибающих моментов (смотри стр.6), полученной от Расчетные изгибающие моменты определяются как
Описанный выше расчет легко реализуется с помощью программного пакета Maple: > restart; Исходные данные: > mm:=200.:L:=3.: > with(LinearAlgebra): > m:=Matrix(3,3,mm*L/210*[[786,11*L,11*L],[11*L,26*L^2,-18*L^2],[11*L,-18*L^2,26*L^2]],datatype=float[4]);
Вычисление собственных векторов матрицы m: > Fi:=Matrix(3,3,Eigenvectors(m,output=vectors),datatype=float[4]); > LL:=Matrix(3,1,Eigenvectors(m,output=values),datatype=float[4]); > lambdaM:=Matrix(3,3,[[LL[1,1],0,0],[0,LL[2,1],0],[0,0,LL[3,1]]],datatype=float[4]); Квадратный корень из матрицысобтвенных чисел матрицы m: > lambdaM05:=Matrix(3,3,[[sqrt(lambdaM[1,1]),0,0],[0,sqrt(lambdaM[2,2]),0],[0,0,sqrt(lambdaM[3,3])]],datatype=float[4]); Квадратный корень из матрицы m: > m05:=Fi.lambdaM05.Transpose(Fi); Квадратный корень из обратной матрицы m: > m_05:=Matrix(3,3,m05^(-1),datatype=float[4]); Жесткость EI: > EI:=2.*10^11*5010.*10^(-8): Матрица жесткости рамы: > K:=Matrix(3,3,2*EI/(L^3)*[[12,3*L,3*L],[3*L,6*L^2,2*L^2],[3*L,2*L^2,6*L^2]],datatype=float[4]); Матрица Km: > Km:=Matrix(3,3,m_05.K.m_05,datatype=float[4]); Матрица собственных векторов матрицы Km: > Fi:=Matrix(3,3,Eigenvectors(Km,output=vectors),datatype=float[4]); Собственные числа матрицы Km: > LL:=Matrix(3,1,Eigenvectors(Km,output=values),datatype=float[4]); Собственные частоты: > p1:=sqrt(LL[1,1])/(2*Pi); > p3:=sqrt(LL[2,1])/(2*Pi); > p2:=sqrt(LL[3,1])/(2*Pi); Собственные векторы: > Psi1:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[1],[0],[0]],datatype=float[4])); > Psi3:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[0],[1],[0]],datatype=float[4])); > Psi2:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[0],[0],[1]],datatype=float[4])); Парциальные матрицы: > H1:=Matrix(3,3,Psi1.Transpose(Psi1),datatype=float[4]); > H2:=Matrix(3,3,Psi2.Transpose(Psi2),datatype=float[4]); > H3:=Matrix(3,3,Psi3.Transpose(Psi3),datatype=float[4]);
Ø Az1:=m_05.H1.m_05.Matrix(3,1,[[S0],[0],[0]]);
Ø Az2:=m_05.H2.m_05.Matrix(3,1,[[S0],[0],[0]]);
Ø Az3:=m_05.H3.m_05.Matrix(3,1,[[S0],[0],[0]]);
Матрица изгибающих моментов от единичнх неизвестных Zi=1: > MM:=Matrix(6,3,[[6*EI/L^2,2*EI/L,0],[-6*EI/L^2,-4*EI/L,0],[0,-8*EI/L,-4*EI/L],[0,4*EI/L,8*EI/L],[-6*EI/L^2,0,-4*EI/L],[6*EI/L^2,0,2*EI/L]]); Значение импульса Sо: > S0:=1; Перемещения > Z:=Az1*sin(2*Pi*p1*t)/(2*Pi*p1)+Az2*sin(2*Pi*p2*t)/(2*Pi*p2)+Az3*sin(2*Pi*p3*t)/(2*Pi*p3); Матрица расчетных изгибающих моментов: > Mpac:=MM.Z; Графики изгибающих моментов в сечениях 2 и 3: > plot(Mpac[2,1],t=0..0.5);
> plot(Mpac[3,1],t=0..0.5); Итак, задача о действии горизонтального единичного импульса
где Г – диссипативная матрица. Для того чтобы применить к уравнению (5.33) метод разложения по собственным формам необходимо, чтобы матрица Г имела те же самые собственные векторы
Сохраним в этом разложении первый ненулевой член, т.е. примем
Постоянную величину
Применим к уравнению (5.33) способ разложения по собственным формам, ищем решение уравнения в виде:
После подстановки (5.35) в (5.33), умножения слева на матрицу
но
Решение уравнения (5.36) выразим через интеграл Дюамеля
где
где
Вычислив логарифмический декремент колебаний для функции (5.38), получим Вычислим интеграл Дюамеля, используя (5.37) и тот факт, что нагрузка на систему Функция Решение задачи дается формулой (5.35)
то есть имеет и вид (5.27), в котором при вычислении функций Найдем решение той же самой задачи о горизонтальном импульсном воздействии на узел одноэтажной рамы. Материал конструкции обладает коэффициентом потерь Расчет выполним, используя программу Maple: > restart; Исходные данные: > S0:=1: mm:=200.:L:=3.: gam:=0.025: > with(LinearAlgebra): > m:=Matrix(3,3,mm*L/210*[[786,11*L,11*L],[11*L,26*L^2,-18*L^2],[11*L,-18*L^2,26*L^2]],datatype=float[4]): Вычисление собственных векторов матрицы m: > Fi:=Matrix(3,3,Eigenvectors(m,output=vectors),datatype=float[4]): Вычисление собственных чисел матрицы m: > LL:=Matrix(3,1,Eigenvectors(m,output=values),datatype=float[4: Матрица собственных чисел матрицы m: > lambdaM:=Matrix(3,3,[[LL[1,1],0,0],[0,LL[2,1],0],[0,0,LL[3,1]]],datatype=float[4]): Квадратный корень из матрицысобтвенных чисел матрицы m: > lambdaM05:=Matrix(3,3,[[sqrt(lambdaM[1,1]),0,0],[0,sqrt(lambdaM[2,2]),0],[0,0,sqrt(lambdaM[3,3])]],datatype=float[4]): Квадратный корень из матрицы m: > m05:=Fi.lambdaM05.Transpose(Fi): Квадратный корень из обратной матрицы m -1 : m_05:=Matrix(3,3,m05^(-1),datatype=float[4]): Жесткость EI: > EI:=2.*10^11*5010.*10^(-8): Матрица жесткости рамы: > K:=Matrix(3,3,2*EI/(L^3)*[[12,3*L,3*L],[3*L,6*L^2,2*L^2],[3*L,2*L^2,6*L^2]],datatype=float[4]): Матрица Km: > Km:=Matrix(3,3,m_05.K.m_05,datatype=float[4]): Матрица собственных векторов матрицы Km: > Fi:=Matrix(3,3,Eigenvectors(Km,output=vectors),datatype=float[4]): Собственные числа матрицы Km: > LL:=Matrix(3,1,Eigenvectors(Km,output=values),datatype=float[4]): Собственные частоты: > p1:=sqrt(LL[1,1])/(2*Pi): > p3:=sqrt(LL[2,1])/(2*Pi): > p2:=sqrt(LL[3,1])/(2*Pi): Собственные векторы: > Psi1:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[1],[0],[0]],datatype=float[4])): > Psi3:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[0],[1],[0]],datatype=float[4])): > Psi2:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[0],[0],[1]],datatype=float[4])): Парциальные матрицы: > H1:=Matrix(3,3,Psi1.Transpose(Psi1),datatype=float[4]): > H2:=Matrix(3,3,Psi2.Transpose(Psi2),datatype=float[4]): > H3:=Matrix(3,3,Psi3.Transpose(Psi3),datatype=float[4]): Амплитуды форм колебаний неизвестных: > Az1:=m_05.H1.m_05.Matrix(3,1,[[S0],[0],[0]]): > Az2:=m_05.H2.m_05.Matrix(3,1,[[S0],[0],[0]]): > Az3:=m_05.H3.m_05.Matrix(3,1,[[S0],[0],[0]]): Матрица изгибающих моментов от единичнх неизвестных Zi=1: > MM:=Matrix(6,3,[[6*EI/L^2,2*EI/L,0],[-6*EI/L^2,-4*EI/L,0],[0,-8*EI/L,-4*EI/L],[0,4*EI/L,8*EI/L],[-6*EI/L^2,0,-4*EI/L],[6*EI/L^2,0,2*EI/L]]): Перемещения: > Z:=Az1*exp(-gam*Pi*p1*t)*sin(2*Pi*p1*t)/(2*Pi*p1)+Az2*exp(-gam*Pi*p2*t)*sin(2*Pi*p2*t)/(2*Pi*p2)+Az3*exp(-gam*Pi*p3*t)*sin(2*Pi*p3*t)/(2*Pi*p3): Матрица расчетных изгибающих моментов: > Mpac:=MM.Z: Графики изгибающих моментов в сечениях 2 и 3: > plot(Mpac,t=0..0.5); > plot(Z,t=0..0.5); При принятых предпосылках учета внутреннего трения, сложность решение задач для диссипативной и консервативной систем практически не различима. Отличие лишь в виде импульсных переходных функций, используемых в расчетах: по (5.24) - для консервативных и по (5.38) - для диссипативных систем. Предпосылки были сделаны для упрощения расчета, но многочисленные эксперименты с конструкционными материалами в лабораторных условиях и экспериментальные исследования строительных конструкций, установили факт частотной независимости декремента колебаний. И именно в принятой для расчетов модели демпфирования колебаний, прослеживается четкая частотная независимость декремента колебаний ( Рассмотрим пример (Рис.5.19). В отличии от предыдущего примера, нагрузкой кроме горизонтального импульса, действующего на левый узел рамы, является вертикальная узловая сжимающая нагрузка в виде двух сил N. Силы примем достаточно большими, такими, что по сравнению с ними массовую нагрузку можно не учитывать в статическом расчете. Примем величину этих сил равную значению критического параметра, полученного в примере расчета этой же рамы на устойчивость (смотри рис.5.13). Итак, положим
Согласно рис.5.20 элементы матрицы геометрической жесткости получим в виде:
Матрица геометрической жесткости будет иметь вид:
После подстановки принятого значения
Далее решение задачи точно следует решению предыдущего примера. Расчет выполним на ПЭВМ, используя программный пакет Maple: > restart; Исходные данные: > EI:=2.*10^11*5010.*10^(-8): S0:=1: mm:=200.: g:=9.81: L:=3.: N:=5.67397743*EI/L^2: gam:=0.025: > with(LinearAlgebra): > m:=Matrix(3,3,mm*L/210*[[786,11*L,11*L],[11*L,26*L^2,-18*L^2],[11*L,-18*L^2,26*L^2]],datatype=float[4]): Вычисление собственных векторов матрицы m: > Fi:=Matrix(3,3,Eigenvectors(m,output=vectors),datatype=float[4]): Вычисление собственных чисел матрицы m: > LL:=Matrix(3,1,Eigenvectors(m,output=values),datatype=float[4]): Матрица собственных чисел матрицы m: > lambdaM:=Matrix(3,3,[[LL[1,1],0,0],[0,LL[2,1],0],[0,0,LL[3,1]]],datatype=float[4]): Квадратный корень из матрицысобтвенных чисел матрицы m: > lambdaM05:=Matrix(3,3,[[sqrt(lambdaM[1,1]),0,0],[0,sqrt(lambdaM[2,2]),0],[0,0,sqrt(lambdaM[3,3])]],datatype=float[4]): Квадратный корень из матрицы m: > m05:=Fi.lambdaM05.Transpose(Fi): Квадратный корень из обратной матрицы m-1: > m_05:=Matrix(3,3,m05^(-1),datatype=float[4]): Жесткость EI: > EI:=2.*10^11*5010.*10^(-8): Матрица жесткости рамы: > K:=Matrix(3,3,2*EI/(L^3)*[[12,3*L,3*L],[3*L,6*L^2,2*L^2],[3*L,2*L^2,6*L^2]],datatype=float[4]); Матрица геометрической жесткости: > KG:=Matrix(3,3,N/(30*L)*[[72,3*L,3*L],[3*L,4*L^2,0],[3*L,0,4*L^2]],datatype=float[4]); > K:=K-KG; Матрица Km: > Km:=Matrix(3,3,m_05.K.m_05,datatype=float[4]); Матрица собственных векторов матрицы Km: > Fi:=Matrix(3,3,Eigenvectors(Km,output=vectors),datatype=float[4]); Собственные числа матрицы Km: > LL:=Matrix(3,1,Eigenvectors(Km,output=values),datatype=float[4]): Собственные частоты: > p1:=sqrt(LL[1,1]); > p3:=sqrt(LL[2,1]); > p2:=sqrt(LL[3,1]); Собственные векторы: > Psi1:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[1],[0],[0]],datatype=float[4]));
> Psi3:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[0],[1],[0]],datatype=float[4])); > Psi2:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[0],[0],[1]],datatype=float[4]));
Парциальные матрицы: > H1:=Matrix(3,3,Psi1.Transpose(Psi1),datatype=float[4]): > H2:=Matrix(3,3,Psi2.Transpose(Psi2),datatype=float[4]): > H3:=Matrix(3,3,Psi3.Transpose(Psi3),datatype=float[4]): Амплитуды форм колебаний неизвестных: > Az1:=m_05.H1.m_05.Matrix(3,1,[[S0],[0],[0]]): > Az2:=m_05.H2.m_05.Matrix(3,1,[[S0],[0],[0]]): > Az3:=m_05.H3.m_05.Matrix(3,1,[[S0],[0],[0]]): Матрица изгибающих моментов от единичных неизвестных Zi=1: > MM:=Matrix(6,3,[[6*EI/L^2,2*EI/L,0],[-6*EI/L^2,-4*EI/L,0],[0,-8*EI/L,-4*EI/L],[0,4*EI/L,8*EI/L],[-6*EI/L^2,0,-4*EI/L],[6*EI/L^2,0,2*EI/L]]): Перемещения > Z:=Az1*exp(-gam*p1*t/2)*sin(p1*t)/(p1)+Az2*exp(-gam*p2*t/2.)*sin(p2*t)/(p2)+Az3*exp(-gam*p3*t/2.)*sin(p3*t)/(p3): Матрица расчетных изгибающих моментов: > Mpac:=MM.Z: Графики изгибающих моментов в сечениях рамы: > plot(Mpac,t=0..0.5); Графики перемещений рамы: > plot(Z,t=0..0.5);
Сравним результаты расчета без учета и с учетом сжимающих сил. Для удобства анализа графики обобщенных перемещений и изгибающих моментов приведены на рис.5.21 и 5.22. Из этих графиков видно, что перемещения и внутренние усилия при учете сжатия примерно в два раза выше, чем аналогичные значения для рам без учета сжимающих сил. Правда, сжатие стоек принято значительным: сравнимым по порядку с критическим параметром для этой рамы. Собственные частоты для рам с учетом сжатия отличаются от собственных частот рам без учета сжатия. Особенно сильно различаются низшие частоты, так первые частоты для рам без учета сжатия p1=57рад/сек и p1=33рад/сек для рам с учетом сжатия. Это говорит о том, что сжатием при расчете рам с сильно сжатыми элементами пренебрегать нельзя. То же самое можно сказать и о конструкциях с сильно растянутыми элементами. Мы рассмотрели нагрузку в виде мгновенного импульса. При этом воздействии очень просто вычисляется интеграл Дюамеля. В других случаях вычисление этого интеграла еще лет 10 – 15 назад могло поставить в тупик
Рис.5.21. Результаты расчета рамы без учета сжатия стоек
Рис.5.22. Результаты расчета рамы с сильно сжатыми стойками
многих расчетчиков, но в настоящее время при оснащении расчетчика современными ПК и программным обеспечением типа Maple, об этой проблеме можно забыть и спокойно браться за динамический расчет на любые воздействия. Учет поглощения энергии не в состоянии создать трудностей в расчете, поскольку, отпали трудности с вычислением интеграла Дюамеля и в расчетах строительных конструкций используется известная импульсная переходная функция, определяемая формулой (5.38). Еще раз запишем решение уравнения движения (5.1):
Обозначим
где
Формулу (5.41) мы уже использовали в программе расчета на импульсные воздействия. В расчетах приведенных ниже будем использовать и формулу (5.40), в которой вычисляем
где f(t) – функция нагрузки, определяемая из выражения Для примера, рассмотрим расчет той же одноэтажной рамы, загруженной динамической нагрузкой, создаваемой электродвигателем с неуравновешенным ротором, например, электродвигателем вентилятора, установленного на крыше здания, вблизи опорной стойки рамы. Расчетная схема показана на рис.5.23.
График, зависимости угловой скорости вращения вала двигателя от времени, приведен на рис.5.24. Закон изменения нагрузки при
при
при
Обозначим
Проведем вычисления с помощью программного пакета Maple: при разгоне двигателя > restart; Исходные данные: > S0:=1.: mm:=200.;L:=3.; P0:=3000.; T0:=1.; omega_r:=104.6; gam:=0.025; > with(LinearAlgebra): > m:=Matrix(3,3,mm*L/210*[[786,11*L,11*L],[11*L,26*L^2,-18*L^2],[11*L,-18*L^2,26*L^2]],datatype=float[4]); Вычисление собственных векторов матрицы m: > Fi:=Matrix(3,3,Eigenvectors(m,output=vectors),datatype=float[4]): Вычисление собственных чисел матрицы m: > LL:=Matrix(3,1,Eigenvectors(m,output=values),datatype=float[4]): Матрица собственных чисел матрицы m: > lambdaM:=Matrix(3,3,[[LL[1,1],0,0],[0,LL[2,1],0],[0,0,LL[3,1]]],datatype=float[4]): Квадратный корень из матрицысобственных чисел матрицы m: > lambdaM05:=Matrix(3,3,[[sqrt(lambdaM[1,1]),0,0],[0,sqrt(lambdaM[2,2]),0],[0,0,sqrt(lambdaM[3,3])]],datatype=float[4]): Квадратный корень из матрицы m: > m05:=Fi.lambdaM05.Transpose(Fi): Квадратный корень из обратной матрицы m: > m_05:=Matrix(3,3,m05^(-1),datatype=float[4]); Жесткость EI: > EI:=2.*10^11*5010.*10^(-8): Матрица жесткости рамы: > K:=Matrix(3,3,2*EI/(L^3)*[[12,3*L,3*L],[3*L,6*L^2,2*L^2],[3*L,2*L^2,6*L^2]],datatype=float[4]); Матрица Km: > Km:=Matrix(3,3,m_05.K.m_05,datatype=float[4]); Матрица собственных векторов матрицы Km: > Fi:=Matrix(3,3,Eigenvectors(Km,output=vectors),datatype=float[4]); Собственные числа матрицы Km: > LL:=Matrix(3,1,Eigenvectors(Km,output=values),datatype=float[4]); Собственные частоты: > p1:=sqrt(LL[1,1]); > p3:=sqrt(LL[2,1]); > p2:=sqrt(LL[3,1]); Собственные векторы: > Psi1:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[1],[0],[0]],datatype=float[4])); > Psi3:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[0],[1],[0]],datatype=float[4])); > Psi2:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[0],[0],[1]],datatype=float[4])); Парциальные матрицы: > H1:=Matrix(3,3,Psi1.Transpose(Psi1),datatype=float[4]); > H2:=Matrix(3,3,Psi2.Transpose(Psi2),datatype=float[4]); > H3:=Matrix(3,3,Psi3.Transpose(Psi3),datatype=float[4]); Амплитуды форм колебаний неизвестных: > Az1:=m_05.H1.m_05.Matrix(3,1,[[1.],[0],[0]]); > Az2:=m_05.H2.m_05.Matrix(3,1,[[1.],[0],[0]]); > Az3:=m_05.H3.m_05.Matrix(3,1,[[1.],[0],[0]]); Интегралы Дюамеля > L1(t):=P0/(p1*T0^2)*Int(exp(-gam*p1*(t-x)/2)*sin(p1*(t-x))*sin(omega_r*x^2/T0)*x^2,x=0..t): > L2(t):=P0/(p2*T0^2)*Int(exp(-gam*p2*(t-x)/2)*sin(p2*(t-x))*sin(omega_r*x^2/T0)*x^2,x=0..t): > L3(t):=P0/(p3*T0^2)*Int(exp(-gam*p3*(t-x)/2)*sin(p3*(t-x))*sin(omega_r*x^2/T0)*x^2,x=0..t): Матрица изгибающих моментов от единичных неизвестных Zi=1: > MM:=Matrix(6,3,[[6*EI/L^2,2*EI/L,0],[-6*EI/L^2,-4*EI/L,0],[0,-8*EI/L,-4*EI/L],[0,4*EI/L,8*EI/L],[-6*EI/L^2,0,-4*EI/L],[6*EI/L^2,0,2*EI/L]]): Перемещения: > Z:=Az1*L1(t)+Az2*L2(t)+Az3*L3(t): Матрица расчетных изгибающих моментов: > Mpac:=MM.Z: Графики изгибающих моментов в сечениях рамы Mpac: > plot(Mpac,t=0..T0);
График обобщенных перемещений Zi: > plot(Z,t=0..T0);
при стационарном загружении > restart; Исходные данные: > S0:=1.: mm:=200.: L:=3.: P0:=3000.: T0:=1.: omega_r:=104.6: gam:=0.025: > with(LinearAlgebra): > m:=Matrix(3,3,mm*L/210*[[786,11*L,11*L],[11*L,26*L^2,-18*L^2],[11*L,-18*L^2,26*L^2]],datatype=float[4]): Вычисление собственных векторов матрицы m: > Fi:=Matrix(3,3,Eigenvectors(m,output=vectors),datatype=float[4]): Вычисление собственных чисел матрицы m: > LL:=Matrix(3,1,Eigenvectors(m,output=values),datatype=float[4]): Матрица собственных чисел матрицы m: > lambdaM:=Matrix(3,3,[[LL[1,1],0,0],[0,LL[2,1],0],[0,0,LL[3,1]]],datatype=float[4]): Квадратный корень из матрицысобтвенных чисел матрицы m: > lambdaM05:=Matrix(3,3,[[sqrt(lambdaM[1,1]),0,0],[0,sqrt(lambdaM[2,2]),0],[0,0,sqrt(lambdaM[3,3])]],datatype=float[4]): Квадратный корень из матрицы m: > m05:=Fi.lambdaM05.Transpose(Fi): Квадратный корень из обратной матрицы m: > m_05:=Matrix(3,3,m05^(-1),datatype=float[4]): Жесткость EI: > EI:=2.*10^11*5010.*10^(-8): Матрица жесткости рамы: > K:=Matrix(3,3,2*EI/(L^3)*[[12,3*L,3*L],[3*L,6*L^2,2*L^2],[3*L,2*L^2,6*L^2]],datatype=float[4]): Матрица Km: > Km:=Matrix(3,3,m_05.K.m_05,datatype=float[4]): Матрица собственных векторов матрицы Km: > Fi:=Matrix(3,3,Eigenvectors(Km,output=vectors),datatype=float[4]): Собственные числа матрицы Km: > LL:=Matrix(3,1,Eigenvectors(Km,output=values),datatype=float[4]): Собственные частоты: > p1:=sqrt(LL[1,1]): > p3:=sqrt(LL[2,1]): > p2:=sqrt(LL[3,1]): Собственные векторы: > Psi1:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[1],[0],[0]],datatype=float[4])): > Psi3:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[0],[1],[0]],datatype=float[4])): > Psi2:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[0],[0],[1]],datatype=float[4])): Парциальные матрицы: > H1:=Matrix(3,3,Psi1.Transpose(Psi1),datatype=float[4]): > H2:=Matrix(3,3,Psi2.Transpose(Psi2),datatype=float[4]): > H3:=Matrix(3,3,Psi3.Transpose(Psi3),datatype=float[4]): Амплитуды форм колебаний неизвестных: > Az1:=m_05.H1.m_05.Matrix(3,1,[[1.],[0],[0]]): > Az2:=m_05.H2.m_05.Matrix(3,1,[[1.],[0],[0]]): > Az3:=m_05.H3.m_05.Matrix(3,1,[[1],[0],[0]]): > L1(t):=P0/(p1*T0^2)*Int(exp(-gam*p1*(t-x)/2)*sin(p1*(t-x))*sin(omega_r*x^2/T0)*x^2,x=0..T0)+P0/(p1)*Int(exp(-gam*p1*(t-x)/2)*sin(p1*(t-x))*sin(omega_r*x),x=T0..t): > L2(t):=P0/(p2*T0^2)*Int(exp(-gam*p2*(t-x)/2)*sin(p2*(t-x))*sin(omega_r*x^2/T0)*x^2,x=0..T0)+P0/(p2)*Int(exp(-gam*p2*(t-x)/2)*sin(p2*(t-x))*sin(omega_r*x),x=T0..t): > L3(t):=P0/(p3*T0^2)*Int(exp(-gam*p3*(t-x)/2)*sin(p3*(t-x))*sin(omega_r*x^2/T0)*x^2,x=0..T0)+P0/(p3)*Int(exp(-gam*p3*(t-x)/2)*sin(p3*(t-x))*sin(omega_r*x),x=T0..t): Матрица изгибающих моментов от единичнх неизвестных Zi=1: > MM:=Matrix(6,3,[[6*EI/L^2,2*EI/L,0],[-6*EI/L^2,-4*EI/L,0],[0,-8*EI/L,-4*EI/L],[0,4*EI/L,8*EI/L],[-6*EI/L^2,0,-4*EI/L],[6*EI/L^2,0,2*EI/L]]): Перемещения: > Z:=Az1*L1(t)+Az2*L2(t)+Az3*L3(t): Матрица расчетных изгибающих моментов: > Mpac:=MM.Z: Графики изгибающих моментов в сечениях рамы Mpac: > plot(Mpac,t=T0..2*T0); График обобщенных перемещений Zi: > plot(Z,t=T0..2*T0);
при торможении двигателя > restart; Исходные данные: > S0:=1.: mm:=200.: L:=3.: P0:=3000.: T0:=1.: omega_r:=104.6: gam:=0.025: > with(LinearAlgebra): > m:=Matrix(3,3,mm*L/210*[[786,11*L,11*L],[11*L,26*L^2,-18*L^2],[11*L,-18*L^2,26*L^2]],datatype=float[4]): Вычисление собственных векторов матрицы m: > Fi:=Matrix(3,3,Eigenvectors(m,output=vectors),datatype=float[4]): Вычисление собственных чисел матрицы m: > LL:=Matrix(3,1,Eigenvectors(m,output=values),datatype=float[4]): Матрица собственных чисел матрицы m: > lambdaM:=Matrix(3,3,[[LL[1,1],0,0],[0,LL[2,1],0],[0,0,LL[3,1]]],datatype=float[4]): Квадратный корень из матрицысобтвенных чисел матрицы m: > lambdaM05:=Matrix(3,3,[[sqrt(lambdaM[1,1]),0,0],[0,sqrt(lambdaM[2,2]),0],[0,0,sqrt(lambdaM[3,3])]],datatype=float[4]): Квадратный корень из матрицы m: > m05:=Fi.lambdaM05.Transpose(Fi): Квадратный корень из обратной матрицы m: > m_05:=Matrix(3,3,m05^(-1),datatype=float[4]): Жесткость EI: > EI:=2.*10^11*5010.*10^(-8): Матрица жесткости рамы: > K:=Matrix(3,3,2*EI/(L^3)*[[12,3*L,3*L],[3*L,6*L^2,2*L^2],[3*L,2*L^2,6*L^2]],datatype=float[4]): Матрица Km: > Km:=Matrix(3,3,m_05.K.m_05,datatype=float[4]): Матрица собственных векторов матрицы Km: > Fi:=Matrix(3,3,Eigenvectors(Km,output=vectors),datatype=float[4]): Собственные числа матрицы Km: > LL:=Matrix(3,1,Eigenvectors(Km,output=values),datatype=float[4]): Собственные частоты: > p1:=sqrt(LL[1,1]): > p3:=sqrt(LL[2,1]): > p2:=sqrt(LL[3,1]): Собственные векторы: > Psi1:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[1],[0],[0]],datatype=float[4])): > Psi3:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[0],[1],[0]],datatype=float[4])): > Psi2:=Matrix(3,1,Fi.Matrix(3,1,[[0],[0],[1]],datatype=float[4])): Парциальные матрицы: > H1:=Matrix(3,3,Psi1.Transpose(Psi1),datatype=float[4]): > H2:=Matrix(3,3,Psi2.Transpose(Psi2),datatype=float[4]): > H3:=Matrix(3,3,Psi3.Transpose(Psi3),datatype=float[4]): Амплитуды форм колебаний неизвестных: > Az1:=m_05.H1.m_05.Matrix(3,1,[[1],[0],[0]]): > Az2:=m_05.H2.m_05.Matrix(3,1,[[1],[0],[0]]): > Az3:=m_05.H3.m_05.Matrix(3,1,[[1],[0],[0]]): Интегралы Дюамеля > L1(t):=P0/(p1*T0^2)*Int(exp(-gam*p1*(t-x)/2)*sin(p1*(t-x))*sin(omega_r*x^2/T0)*x^2,x=0..T0)+P0/(p1)*Int(exp(-gam*p1*(t-x)/2)*sin(p1*(t-x))*sin(omega_r*x),x=T0..2*T0)+P0/(p1*T0^2)*Int(exp(-gam*p1*(t-x)/2)*sin(p1*(t-x))*sin(omega_r*x*(3*T0-x)/T0)*(3*T0-x)^2,x=2*T0..t): > L2(t):=P0/(p2*T0^2)*Int(exp(-gam*p2*(t-x)/2)*sin(p2*(t-x))*sin(omega_r*x^2/T0)*x^2,x=0..T0)+P0/(p2)*Int(exp(-gam*p2*(t-x)/2)*sin(p2*(t-x))*sin(omega_r*x),x=T0..2*T0)+P0/(p2*T0^2)*Int(exp(-gam*p2*(t-x)/2)*sin(p2*(t-x))*sin(omega_r*x*(3*T0-x)/T0)*(3*T0-x)^2,x=2*T0..t): > L3(t):=P0/(p3*T0^2)*Int(exp(-gam*p3*(t-x)/2)*sin(p3*(t-x))*sin(omega_r*x^2/T0)*x^2,x=0..T0)+P0/(p3)*Int(exp(-gam*p3*(t-x)/2)*sin(p3*(t-x))*sin(omega_r*x),x=T0..2*T0)+P0/(p3*T0^2)*Int(exp(-gam*p3*(t-x)/2)*sin(p3*(t-x))*sin(omega_r*x*(3*T0-x)/T0)*(3*T0-x)^2,x=2*T0..t): Матрица изгибающих моментов от единичных неизвестных Zi=1: > MM:=Matrix(6,3,[[6*EI/L^2,2*EI/L,0],[-6*EI/L^2,-4*EI/L,0],[0,-8*EI/L,-4*EI/L],[0,4*EI/L,8*EI/L],[-6*EI/L^2,0,-4*EI/L],[6*EI/L^2,0,2*EI/L]]): Перемещения: > Z:=Az1*L1(t)+Az2*L2(t)+Az3*L3(t): Матрица расчетных изгибающих моментов: > Mpac:=MM.Z: Графики изгибающих моментов в сечениях рамы Mpac: > plot(Mpac,t=2*T0..3*T0); График обобщенных перемещений Zi: > plot(Z,t=2*T0..3*T0); Для анализа результатов расчетов покажем все графики на одном рис.5.25
Изгибающие моменты в сечениях рамы
при разгоне двигателя в стационарном режиме работы при торможении двигателя
Перемещения узлов рамы
при разгоне двигателя в стационарном режиме работы при торможении двигателя
Рис.5.25. Результаты расчета рамы в переходных режимах работы
Из этих графиков видно, что наибольшие усилия и перемещения достигаются при переходе двигателя с режима разгона в стационарный режим и из стационарного режима в режим торможения. Именно и эти моменты внутренние усилия и перемещения достигают наибольших величин.
Рассмотрим стационарные колебания конструкций под действием гармонической нагрузки
Стационарные колебания это колебания конструкций, происходящие в моменты времени после полного затухания свободных колебаний, то есть силы
После подстановки (5.43) в (5.1) после сокращения
К решению последнего уравнения применим метод разложения по собственным формам. Решение ищем и виде:
После подстановки (5.45) в (5.44), умножения слева на ФТ получаем:
но, если Ф есть собственные формы отвечающие зависимостям
![]()
Для частотно-независимого демпфирования по (5.34) принимаем
После подстановки (5.34) в (5.47), а затем в (5.46) получаем
Поскольку матрица частот диагональная, то матрицы
и назовем её передаточной матрицей. Диагональные, ненулевые элементы этой матрицы
комплексные величины, представляющие собой передаточные функции по соответствующим формам. Из (5.48) с учетом (5.49) получаем
После подстановки (5.50) в (5.45) находим:
Учитывая, что
где амплитуды по формам. Для примера рассмотрим раму, показанную на рис.5.23, при действии горизонтальной, гармонической силы Расчет выполним, используя программный пакет Maple. > restart; Исходные данные: mm - распределенная масса в H/м, L - размер в м (высота стойки), P0 - амплитуда нагрузки kH, gam - коэффициет потерь. > mm:=200.: L:=3.: P0:=3000.: gam:=0.025: > with(LinearAlgebra): <
|