Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Смешанное произведение векторов и его свойства. Пусть в пространстве задана правая прямоугольная декартова система координатПусть в пространстве задана правая прямоугольная декартова система координат. Опр. Смешанным произведением трех векторов , , взятых в определенном порядке, называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор [ ]. Смешанное произведение обозначают или Теорема 1. В прямоугольной декартовой системе координат смешанное произведение трех векторов , , вычисляется по формуле: (1) Доказательство.Используя (1) из §20, запишем, [ ]= + + . Тогда скалярное произведение вектора на вектор [ ] есть сумма произведений соответствующих координат: + + = .
Теорема 2 (геометрический смысл смешанного произведения). Если , и - три некомпланарных вектора, то абсолютная величина смешанного произведения векторов , и равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Доказательство. Векторное произведение [ ] , где – площадь параллелограмма, построенного на векторах и (т.е. – длина вектора [ ]), – орт вектора [ ]. Следовательно, ∙[ ] . Заметим, что , где – длина высоты AH параллелепипеда , причем знак «+», если тройка - правая; и знак «-», если тройка - левая. Таким образом, ∙[ ]= . Окончательно, ∙[ ]= . Свойства. Принимая во внимание теорему 1, заключаем, что смешанное произведение обладает свойствами определителя: 1.Векторы , и компланарны тогда, и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. 2.Смешанное произведение некомпланарных векторов , и положительно (отрицательно), если базис – правый (левый). 3.При перестановке двух сомножителей смешанное произведение меняет лишь знак, а его абсолютная величина не меняется. 4.Циклическая перестановка сомножителей не меняет смешанное произведение. 5.При умножении одного из векторов , , на число на то же число умножается смешанное произведение векторов , , . 6.Смешанное произведение обладает свойством дистрибутивности относительно каждого сомножителя: .
|