Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Скалярное произведение векторов и его свойстваОпределение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и (, ) называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается , , (2.16) где . Формулу (2.16) можно записать иначе. Так как , , то получаем: (2.17) то есть скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.
Свойства скалярного произведения: 1) 2) 3) ; 4) тогда и только тогда, когда , или , или ; 5) - скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. Пусть заданы два вектора и . Тогда Таким образом, (2.18) Пример 11. Даны векторы . Найти скалярное произведение . Решение. Воспользуемся свойствами 2, 3: . Используя формулу (2.18), получаем: Тогда Пример 12. Найти длину вектора , если . Решение. Используя свойство 5 скалярного произведения, получаем , но , , , следовательно, . Пример 13. Даны векторы , . Найти угол между векторами и . Решение. Найдем координаты векторов и : , то есть ; , то есть . Воспользуемся формулой (2.16) , тогда . Следовательно тогда Пример 14. Даны векторы , , . Найти вектор , если известно, что Решение. Пусть искомый вектор . Из условия следует, что или то есть . Из условия следует, что или , то есть . Из условия следует, что или . Из полученных равенств составим систему линейных уравнений, решение которой и определит координаты искомого вектора .
Решим систему уравнений методом Гаусса. Для этого составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду. . Элементы первой строки матрицы умножим на (-3) и прибавим к соответствующим элементам второй строки, затем элементы первой строки умножим на 2 и прибавим к соответствующим элементам третьей строки: ~ . Элементы второй строки полученной матрицы умножим на : ~ . Элементы второй строки умножим на (-5), третьей строки – на 2, затем к полученным элементам третьей строки прибавим соответственные полученные элементы второй строки: ~ . С помощью полученной матрицы треугольного вида составим систему уравнений, равносильную системе .
Таким образом, искомый вектор .
|