Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Решение систем методом ГауссаОдним из наиболее универсальных и эффективных методов решений систем линейных уравнений является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных. Пусть дана система уравнений (1.25) Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (треугольному или трапециевидному) виду. Для этого над строками расширенной матрицы системы проводятся элементарные преобразования, приводящие эту матрицу к ступенчатому виду. Полученная матрица будет эквивалентной матрице , значит и система уравнений, полученная с помощью новой матрицы будет равносильной данной системе уравнений. Если в процессе приведения системы (1.25) к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, то есть равенства вида 0=0, их отбрасывают. Если же появится уравнение вида , а то это говорит о том, что данная система уравнений несовместна. Второй этап (обратный ход) заключается в решении ступенчатой системы. Если в последнем уравнении новой системы содержится одно неизвестное, то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим , из предпоследнего уравнения , далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные , . Если в последнем уравнении преобразованной системы более чем одно неизвестное, то данная система имеет множество решений (система является неопределенной). Из последнего уравнения выражаем первое неизвестное через остальные неизвестные . Затем подставляем значение в предпоследнее уравнение системы и выражаем через и так далее. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим бесчисленное множество решений системы. На практике удобно, чтобы коэффициент был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части первого уравнения на ). Пример 37. Решить систему уравнений методом Гаусса: Решение. Составим расширенную матрицу данной системы Так как , , поменяем местами первую и вторую строки матрицы местами: ~ . Сначала элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки, а затем элементы первой строки умножим на (-7) и прибавим к элементам третьей строки: ~ . Элементы второй строки умножим на , а элементы третьей строки – на : ~ . От элементов третьей строки отнимаем элементы второй строки: ~ . От преобразованной расширенной матрицы перейдем к системе уравнений: Получили систему, состоящую из двух уравнений и содержащую три неизвестных, то есть с помощью элементарных преобразований данную систему уравнений привели к ступенчатому виду, в которой нет уравнений вида , где . Поэтому система уравнений имеет бесчисленное множество решений. Выразим через из второго уравнения: Подставим полученное выражение в первое уравнение:
Пусть , тогда - частное решение системы. Пусть , где с – любое действительное число, тогда - общее решение системы.
Пример 38. Решить систему уравнений методом Гаусса Решение. Составим расширенную матрицу данной системы уравнений Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам второй строки, затем элементы первой строки умножим на (-7) и прибавим к элементам третьей строки: ~ . Элементы второй строки умножим на (-3) и прибавим к элементам третьей строки: ~ . Элементы третьей строки умножим на : ~ . С помощью элементарных преобразований получили матрицу треугольного вида, значит, данная система уравнений имеет единственное решение. С помощью полученной преобразованной расширенной матрицы запишем соответствующую систему уравнений Зная значение , из второго уравнения находим : или Используя значения и , из первого уравнения находим : или окончательно
|