Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Приведение пары формРассмотрим линейное пространство Lп над полем С с ба- зисом е. Пусть F, G – эрмитовы квадратичные формы, причем G > 0, а f, g – соответствующие эрмитовы полуторалинейные формы. Так как g – эрмитова полуторалинейная положительно определенная функция, то можно считать, что g – скалярное произведение, g(x, y)= (x, y)g, а Lп с этим скалярным произведением - унитарное пространство: Lп = Нп. По доказанному в п.27.1, в унитарном пространстве Нп существует ортонормированный (в смысле скалярного произведения g) базис u, в котором форма F имеет канонический вид (а G имеет, естественно, нормальный вид). Если в этом базисе вектор у =(y1,y2,…,yn), то G(у)= | y1 | 2+ | y2 | 2 +…+ | yn | 2 (так как базис ортонормированный в смысле g), и F(у)= l1 | y1 | 2+l2 | y2 | 2+…+ ln | yn | 2. Соответственно, если в этом базисе вектор z =(z1,z2,…,zn), то g(у,z) = y1 + y2 +…+yn , f(y, z) = l1y1 + l2y2 +…+lnyn . Таким образом, нами доказана Теорема. Для любой пары эрмитовых квадратичных форм F и G, G > 0, в линейном пространстве Lп над полем С существует базис и, в котором форма F имеет канонический вид, а G имеет нормальный вид, то есть = diag(l1,l1,…,ln) – диагональная матрица, причем все liÎ R, а = E. Это означает, что существует матрица Т= перехода к новому базису и такая, что Т t = diag(l1,l1,…,ln), Т t = Е. Так как коэффициенты l1,…,ln формы F – это собственные значения линейного оператора j с матрицей = = , то найти их можно, решая характеристическое уравнение для (неизвестной) матрицы = , то есть уравнение det( -lE) = 0. Но = Т t , Е = Т t , и det( -lE) = det(Т t( – l ) )= 0 Û det( - l )=0 – это уже уравнение для известных (заданных) матриц и . Многочлен = det( - l ) называется характеристическим многочленом пары форм F, G (G > 0) а уравнение =0 называется характеристическим уравнением пары форм. Таким образом, для нахождения коэффициентов l1,…,ln формы F нужно найти корни характеристическое уравнение пары форм. Чтобы найти векторы базиса и = {и1,…, иn}, надо найти собственные векторы линейного оператора j, решая однородные системы линейных уравнений ( - liE) = [ 0 ] (с неизвестной матрицей в неизвестном базисе и). Заметим, что в качестве решения иi мы получим набор координат (0,0,…,0, ,0,…,0). Далее, ( -liE) = Т t( - li ) = =Т t( - li ) [ x ] ¢= [ 0 ] Û ( - li ) [ x ] ¢= [ 0 ] – это уже СЛУ с известными матрицами , , а [ x ] ¢= . И решениями этой системы являются векторы «комплексно сопряженного» базиса . Таким образом, чтобы найти векторы искомого базиса и нужно для каждого li решить СЛУ ( - li ) [ x ] ¢= [ 0 ]. Различным значениям li соответствуют g- ортогональные друг другу решения системы, и, если dim Ker( - l i ) = 1, то найденное решение x необходимо лишь нормировать (по g), то есть разделить его на длину . Если же имеются кратные корни li характеристического уравнения =0, то dim Ker( - l i ) > 1, и найденные фундаментальные системы решений для СЛУ необходимо ортонормировать в смысле g, например, по Граму-Шмидту. После этой процедуры мы получим ортонормированный базис . И теперь для получения базиса и надо перейти к базису, «комплексно сопряженному» к базису .
Лекция 39. ГРУППЫ
Далее будем считать, если не оговорено противное, что G – мультипликативная группа (то есть групповую операцию в G мы будем называть умножением), e - нейтрал в G.
|