Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Метод трапеций
Подынтегральную функцию заменим на участке [ хj, хj + h] полиномом первой степени P1(х). Как и в методах прямоугольников, такая аппроксимация неоднозначна. Одним из возможных способов является проведение прямой через значения функции на границах интервала интегрирования (рис. 5.6). В этом случае приближенное значение интеграла определяется площадью трапеции (5.20) Формула интегрирования для метода трапеций имеет вид: (5.20а) Рис. 5.6. Метод трапеций
Априорную погрешность Ri метода трапеций получим путем интегрирования тейлоровского разложения подынтегральной функции около точки хj (5.21) и интеграл (5.22) С помощью разложения (5.21) вычислим подынтегральную функцию в точке xj+h откуда (5.23) Подставляя произведение (5.23) в выражение (5.22), получим Следовательно, главный член погрешности метода трапеций на одном интервале будет (5.24) Если интегрирование проводится путем разбиения отрезка [ x0, хn ] на несколько интервалов, то общую погрешность получим суммированием частичных погрешностей (8.24) (5.25) Отсюда мы видим, что метод трапеций имеет второй порядок интегрирования. Это ожидаемый результат. С другой стороны, метод средних прямоугольников также имеет второй порядок интегрирования. И как видно, из формул (5.7) и (5.25) погрешность метода трапеций даже больше в два раза больше по абсолютной величине по сравнению с методом средних прямоугольников, хотя аппроксимация подынтегральной функции проводилась полиномом первой, а не нулевой степени. По-видимому, выбранный вариант аппроксимации подынтегральной функции прямой, проходящей через ее значения на границах, не является оптимальным. Задача выбора способа аппроксимации полиномом заданной степени с наименьшей возможной погрешностью была решена Гауссом, что привело к развитию целого класса методов (п. 5.8) Поскольку метод трапеций и метод средних прямоугольников имеют одинаковый порядок интегрирования, то если подынтегральная функция задана аналитически, то предпочтительнее из методов второго порядка применять метод средних прямоугольников вследствие его меньшей погрешности.
|