Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Производные и дифференциалы функций многих переменныхЧастные производные первого порядка и их геометрическое истолкование Пусть задана функция z = ƒ (х; у). Так как х и у — независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение Δх, сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается ∆хz. Итак, Δхz=ƒ(х+Δх;у)-ƒ(х;у). Аналогично получаем частное приращение z по у: Δуz=ƒ(x;у+Δу)-ƒ(х;у). Полное приращение Δz функции z определяется равенством Δz = ƒ(х + Δх;у + Δу)- ƒ(х; у). Если существует предел то он называется частной производной функции z = ƒ (х; у) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов: Частные производные по х в точке М0(х0;у0) обычно обозначают символами Аналогичноопределяется и обозначается частная производная от z=ƒ(х;у) по переменной у: Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции ƒ(х;у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной). Пример 44.1. Найти частные производные функции z = 2у + ех2-у +1. Решение: Геометрический смысл частных производных функции двух переменных Графиком функции z= ƒ (х; у) является некоторая поверхность (см. п. 12.1). График функции z = ƒ (х; у0) есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью у = уо. Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной (см. п. 20.2), заключаем, что ƒ'x(хо;уо) = tg а, где а — угол между осью Ох и касательной, проведенной к кривой z = ƒ (х; у0) в точке Мо(хо;уо; ƒ(хо;уо)) (см. рис. 208). Аналогично, f'y (х0;у0)=tgβ. 44.2. Частные производные высших порядков Частные производные называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от (х;у) є D. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом: Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т. д. порядков. Так, и т.д. Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Таковыми являются, например,
|