![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Матричные игры и понятие седловой точкиРассмотрим более подробно антагонистические игры и их основные свойства. Удобным способом задания игры двух участников с нулевой суммой является платежная матрица. Отсюда, кстати, происходит еще одно их название – матричные игры. Предположим, имеется два игрока А и В. Они вступают в игру. У каждого из игроков на определенном этапе есть возможность выбора. Предположим также, что у каждого из игроков есть определенный набор стратегий: игрок А → имеет m стратегий, т.е. i= (1… m); игрок B → имеет n стратегий, т.е. j= (1… n). Допустим, что при i -ой стратегии игрока A и j -ой стратегии игрока В результатом игры будет число аij, т.е. платеж. В результате, при реализации первым игроком всех m стратегий, а вторым - всех n стратегий по всем платежам можно составить матрицу игры:
Стратегия игрока, соответствующая строке игрока А или столбцу игрока В, называется чистой стратегией. Матрицу А размерностью m Классическим примером антагонистической игры является игра с двумя участниками, загадывающими независимо друг от друга числа. Предполагается, что если их сумма оказывается четной, то выигрыш, равный 1, достается первому игроку, а если нечетной, то второму. Положив, что для обоих игроков загадывание нечетного числа является первой стратегией, а четного – второй, можем записать платежную матрицу данной игры:
Строки этой таблицы (матрицы) соответствуют стратегиям игрока А, столбцы - стратегиям игрока В, а ее элементы – результатам для первого игрока. Также из определения игры следует, что элементы данной матрицы, взятые с обратным знаком, соответствуют выигрышам второго игрока. Более сложная и содержательная платежная матрица может быть получена, если несколько модифицировать предложенную игру. Допустим, что оба участника имеют право загадывать числа от 1 до 4 и это составляет их соответствующие стратегии (т.е. для каждого игрока имеется четыре стратегии). В случае, если результат сложения задуманных чисел будет четным, то второй игрок выплачивает первому получившуюся сумму, а если нечетным, то первый – второму. Запишем платежную матрицу для такой игры:
К подобной форме может быть сведена модель, описывающая, например, соревнование двух фирм за вновь открывшийся рынок сбыта продукции и т.п. Как уже отмечалось, важнейшим в теории игр является вопрос об оптимальности решения (выбора стратегии) для каждого из игроков. Проанализируем с этой точки зрения некоторую матричную игру, для которой задана платежная матрица
Такой принцип выбора стратегии получил название “принцип максимина”. С другой стороны, аналогичные рассуждения могут быть проведены по поводу действий игрока В. Его наибольший проигрыш при переборе всех возможных стратегий составит β=max(aij). Следовательно, ему надо выбирать стратегию так, чтобы минимизировать величину проигрыша при любых действиях соперника, т.е. обеспечить
Такой принцип выбора стратегии называется “ принцип минимакса ”. Логика игры позволяет утверждать, что всегда выполняется неравенство Очевидно, что не всякая игра будет иметь седловую точку. Скорее наоборот, отсутствие седловой точки может быть правилом, а ее наличие – исключением. Примером игры, имеющей седловую точку, является игра с платежной матрицей:
Запишем для игрока А вектор-строку минимальных выигрышей по всем трем его стратегиям (т.е. по трем строкам): α=(1; 5; -3). Для игрока В запишем вектор-строку из максимальных проигрышей по всем четырем его стратегиям (столбцам): β=(8; 10; 5; 17). Теперь запишем максимин для игрока А, т.е. максимальный выигрыш из минимально возможных: αmax=5, а для игрока В запишем значение минимакса, т.е. минимальный проигрыш из максимально возможных по всем его стратегиям: βmin=5. Видим, что в данном случае имеется седловая точка v= а23=5. Следовательно, для игры с приведенной выше матрицей решение игры будет: i=2; j=3; v=5 (для игрока А оптимальной будет вторая стратегия А2, для игрока В оптимальна третья стратегия В3, цена игры равна 5). При любом отклонении от оптимальной стратегии другой игрок будет иметь шанс “наказать” противника и выиграть больше цены игры (при ошибке игрока В) или проиграть меньше цены игры (при ошибке игрока А).
|