Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Определение и основные свойстваЛекция 15 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
Определение и основные свойства
В произвольном линейном пространстве отсутствуют понятия “длины”, “расстояния”, “величины угла” и других метрических характеристик. Однако их использование становится возможным, если в линейном пространстве дополнительно ввести специальную, определяемую ниже операцию.
Определение 15.1 Пусть в вещественном линейном пространстве каждой упорядоченной паре элементов x и y поставлено в соответствие вещественное число называемое скалярным произведением, так, что выполнены аксиомы:
1) 2) 3) 4) , причем , тогда говорят, что задано евклидово пространство E.
Замечание. Аксиомы 1–4 в совокупности означают, что скалярное произведение есть билинейный (что следует из аксиом 2 и 3) и симметричный (следует из аксиомы 1) функционал, который, кроме того, порождает положительно определенный квадратичный (следует из аксиомы 4) функционал. Любой билинейный функционал, обладающий данными свойствами, может использоваться в качестве скалярного произведения.
Пример 15.1. Трехмерное геометрическое пространство со скалярным произведением,
является евклидовым.
Пример 15.2. Пространство -мерных столбцов со скалярным произведением, определяемым по формуле , есть евклидово пространство.
Пример 15.3. Евклидовым будет пространство непрерывных на функций со скалярным произведением .
Определение 15.2 В евклидовом пространстве E назовем 1) нормой (или длиной) элемента x число
; 2) расстоянием между элементами x и y число
.
Замечание. Для линейного пространства вещественных чисел норма числа совпадает с его абсолютной величиной, для комплексного числа норма совпадает с его модулем, а для линейного пространства геометрических векторов – с длиной вектора.
Теорема 15.1 (неравенство Коши–Буняковского). Для любых имеет место неравенство . Доказательство.
Для и вещественного числа элемент . Согласно аксиоме 4 из определения 15.1
Полученный квадратный трехчлен неотрицателен для любого тогда и только тогда, когда его дискриминант неположителен, то есть
.
Теорема доказана.
Задача на дом. Показать, чтонеравенство Коши–Буняковского превращается в равенство тогда и только тогда, когда элементы x и y линейно зависимы.
Следствие (неравенство треугольника). Для любых имеет место неравенство . Доказательство.
Из аксиом евклидова пространства и неравенства Коши–Буняковского имеем
, откуда в силу неотрицательности чисел и получаем неравенство треугольника.
Следствие доказано.
Неравенства Коши–Буняковского и треугольника для евклидова пространства из примера 15.2 имеют вид: а для евклидова пространства из примера 15.3 соответственно: ; . Определение 15.3 В евклидовом пространстве E величиной угла между ненулевыми элементами x и y назовем число , удовлетворяющее соотношению .
Из неравенства Коши–Буняковского следует, что величина угла существует для любой пары ненулевых элементов в E. Определение 15.3 В евклидовом пространстве E элементы x и y называются ортогональными, если .
Откуда следует, что нулевой элемент евклидова пространства ортогонален любому другому элементу.
|