Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Дифференцирование неявно заданных функций ⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6 ПРИМЕР. (1) - эллипс на плоскости OXY. y
-a 0 a x
, такие, что удовлетворяют уравнению (1). Таким образом, (1) определяет функцию y=f(x) (в данном случае двузначную). Такие функции называются неявно заданными. Примером неявно заданной функции двух переменных может служить функция, определенная уравнением конуса: В общем случае: а) . б) . в) . df.1 Пусть и .Уравнение (2) разрешимо в окрестности если существует функция с областью определения и областью значений , что . Следует иметь ввиду, что в определении 1: df.2 Пусть уравнение F(x,y)=0, разрешимо в окрестности тогда уравнение (2) определяет неявную функцию в окрестности . В общем случае неявная функция многозначная. Если для (2) существует единственное решение, то (2) – однозначно разрешимо; и (2) определяет однозначную функцию. Т.к. рассматриваются только однозначные функции, то далее термин «однозначная» опускается. Th.1 (Достаточное условие существования и непрерывности неявно заданной функции F(x,y)=0) 1. . 2. , где -это окрестность представляет собой прямоугольник, в котором находится точка . 3. - строго монотонна на . Тогда определяет однозначную функцию с областью значений , причем . (Б/Д).
Геометрический смысл
Кривая, заданная уравнением F(x,y)=0 в прямоугольнике D представляет собой проходящий через точку график однозначной, непрерывной и непрерывно-дифференцируемой функции y=f(x). Th.2 (Достаточное условие существования и непрерывности неявных функций многих переменных) Пусть: 1. . 2. . 3. . Тогда, , что уравнение =0 определяет однозначную непрерывную в функцию: = , причем . (Б/Д). Th.3 (Достаточное условие существования частных производных неявной функции) Пусть: 1. . 2. 3. . Тогда, существует неявная функция , . (4) Доказательство: Существует непрерывная в окрестности функция из теоремы 2, т.к. , то по достаточному условию дифференцируемости в точке F – дифференцируема в . ; . Пусть y=f(x), , т.к. F(x,f(x))=0, . Положим при (*) при . в силу непрерывности . Найдем предел (*) при (4). Непрерывность из теоремы о непрерывности сложной функции и арифметических действий. СЛЕДСТВИЕ. Пусть: 1. . 2. . 3. . Тогда, 1) неявная функция такая, что 2) , причем (5) (5) следует из теоремы 3 при . ЗАМЕЧАНИЕ 1. При решении практических примеров обычно дифференцируют уравнение =0, как сложную функцию. Затем решают уравнение относительно . ЗАМЕЧАНИЕ 2. При отыскании второй производной (и т.д.) дифференцируем исходное уравнение дважды (и т.д.). ЗАМЕЧАНИЕ 3. Можно показать, что в условиях теоремы 3 неявная функция дифференцируема. Дифференциал находят k- кратным вычислением дифференциала от левой и правой частей уравнения. ПРИМЕР. Найти . Пусть Дифференцируем по «x»: . Неявные функции могут задаваться системой уравнений. Пусть , тогда . df.1 - декартово произведение пространств . Рассмотрим систему уравнений: (6) или
Введем важное определение: df.2 Пусть матрица: При m=n: - определитель Якоби или Якобиан. Th.4 Пусть: 1. . 2. . 3. . Тогда: 1) Система (6) однозначно разрешима в и существуют неявные функции , причем . 2) . (Б/Д). При решении практических задач необходимо непосредственно дифференцировать каждое уравнение, а затем решать соответствующую систему уравнений относительно соответствующих производных или дифференциалов. Так например рассмотрим систему:
Тогда Из системы следует: первый раз второй раз
Получим: или или = . Аналогично находим: . Умножим и сложим уравнения:
. ПРИМЕР. Найти .
Решение: , каждый раз складываем уравнения: , Ответ: ; .
|