Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Бесконечно малые и бесконечно большие последо-вательности Определение. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого А>0 можно указать номер такой, что при все члены xn этой последовательности удовлетворяют неравенству .
Замечание. Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной; однако неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой. Пример: последовательность 1, 2, 1, 3, …, 1, n,... является неограниченной, но не является бесконечно большой, т.к. при A>1 неравенство не имеет места для всех членов xn с нечетными номерами.
Определение. Последовательность называется бесконечно малой, если для любого можно указать номер такой, что при все члены этой последовательности удовлетворяют неравенству .
Примеры: 1) Доказать, что последовательность является бесконечно большой, а при бесконечно малой. а) Пусть . Тогда , где . +(положительные члены), т.е. Теперь зафиксируем произвольное число A>0 и выберем N столь большим, чтобы (например, выберем ). Тогда . Но при и ,т.е. Утверждение доказано. б) Пусть . В этом случае Теперь . Зафиксируем произвольное и выберем номер N из условия . Т.к. и при , то из полученных неравенств вытекает, что . Утверждение доказано. 2) Докажем, что – бесконечно малая последовательность. В самом деле, если Поэтому по заданному достаточно выбрать номер N из условия . Тогда при и утверждение доказано. Теорема. Если – сходящаяся последовательность и то – бесконечно малая последовательность.
Доказательство: Т.к. для любого можно найти номер такой, что при выполняется неравенство , это и означает, что при , т.е. – бесконечно малая последовательность. Из этой теоремы следует, что члены сходящейся последовательности могут быть представлены в виде: где – бесконечно малая последователь-ность.
|