Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Примеры. 1.Рассмотрим функцию y=|x|.Эта функция непрерывна в точке x = 0, т.к1.Рассмотрим функцию y=|x|. Эта функция непрерывна в точке x = 0, т.к. . Покажем, что она не имеет производной в этой точке. f (0+Δ x) = f (Δ x) = |Δ x |. Следовательно, Δ y = f (Δ x) – f (0) = |Δ x | Но тогда при Δ x < 0 (т.е. при Δ x стремящемся к 0 слева) А при Δ x > 0 Т.о., отношение при Δ x → 0 справа и слева имеет различные пределы, а это значит, что отношение предела не имеет, т.е. производная функции y=|x | в точке x = 0 не существует. Геометрически это значит, что в точке x = 0 данная "кривая" не имеет определенной касательной (в этой точке их две). 2.Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Выясним, имеет ли эта функция производную при x = 0.
Следовательно, рассматриваемая функция не дифференцируема в точке x = 0. Касательная к кривой в этой точке образует с осью абсцисс угол p/2, т.е. совпадает с осью Oy. 3. . При x = 0 функция не определена. 4.Функция определена для всех значений x, кроме x = 0. В этой точке она имеет разрыв, т.к. предел не существует (рисунок см. в лекции 1). Точки разрыва функции можно разбить на два типа. Точка разрыва x0 функции f(x) называется точкой разрыва первого рода, если существуют оба односторонних конечных предела и , но они не равны между собой или не равны значению функции в точке x0, т.е. f(x0). Точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода. Примеры: В первом примере точка х= 3 является точкой разрыва первого рода. В примерах 2 – 4 все точки разрыва являются точками разрыва второго рода. 5.Для функции, изображённой на рисунке точка x = 2 является точкой разрыва первого рода. 6.Функция не определена в точке x = 0. Эта точка является точкой разрыва 1-го рода, т.к. в ней существуют пределы справа и слева.
1. y = xn. Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома Ньютона: (a + b)n = a n+ n·a n-1· b + 1/2∙ n(n – 1)a n-2∙ b 2+ 1/(2∙3)∙ n(n – 1)(n – 2)an-3b3+…+ bn, можно доказать, что Итак, если x получает приращение Δ x, то f(x +Δ x) = (x + Δ x)n, и, следовательно, Δ y =(x +Δ x) n – xn = n·xn-1 ·Δ x + 1/2·n·(n– 1 )·xn-2 ·Δ x2 +…+Δ xn. Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δ x в степени выше 3. Найдем предел Мы доказали эту формулу для n N. Далее увидим, что она справедлива и при любом n R. 2. y = sin x. Вновь воспользуемся определением производной. Так как, f(x +Δ x)= sin(x +Δ x), то Таким образом, 3. Аналогично можно показать, что 4. Рассмотрим функцию y = ln x. Имеем f (x +Δ x)=ln(x +Δ x). Поэтому Итак, 5. Используя свойства логарифма можно показать, что Формулы 3 и 5 докажите самостоятельно.
|