Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Методические указания. Дифференциальное исчислениеДифференциальное исчисление
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ и варианты расчетно–графических работ
для подготовки бакалавра по направлениям 080100 Экономика
Экономика предприятий и организаций Бухгалтерский учет, анализ и аудит Финансы и кредит Налоги и налогообложение
Уфа 2012 УДК 517.2 ББК 161.6 М 54
Методические указания Обсуждены и одобрены на заседании кафедры математики (протокол № от) Заведующий кафедрой математики, к.ф.-м.н., доцент Лукманов Р.Л.
Рекомендовано к изданию методической комиссией механического факультета (протокол № от) Председатель методической комиссии факультета к.пс.н., доцент Костенко Н.А.
Составители: к.ф.-м.н., доцент Кудашева Е.Г., к.ф.-м.н., доцент Чередникова Л.Ю.
Рецензент: к.эк.н., доцент Насырова А.Д.
Ответственный за выпуск: заведующий кафедрой математики, к.ф.-м.н., доцент Лукманов Р.Л.
Введение Залог успешного овладения курсом математики – активная самостоятельная работа студентов. Одна из форм активизации учебного процесса – система расчетно-графических работ (РГР). Основой системы данной работы является индивидуализация заданий. Данные методические указания предназначены для изучения раздела «Дифференциальное исчисление». В методическом указании представлены задачи по темам: вычисление производной различных типов функций, нахождение пределов функций с помощью правила Лопиталя, геометрическое приложение производной. В настоящем сборнике представлены тридцать различных вариантов заданий. Варианты заданий выдаются преподавателем. Определение производной. Дифференцирование функций Пусть функция у = f (x) определена на промежутке . Аргументу дадим приращение , найдем соответствующее приращение функции . Производной функции у = f (x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю: . Если предел конечный, то производная функции f (x) существует. Функция f, имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой. Производная обозначается также у' (x) или Приведем основные правила дифференцирования функций. Пусть С Î R — постоянная, и = и (х), v = v (x) — функции, имеющие производные. С ' = 0 (Си) ' =С ∙ u' (u ± v) ' = и' ± v' (u ∙ v) ' =u' ∙ v + u ∙ v' Дифференцирование сложной функции y = f (φ (x)). Если функция y = f (u) дифференцируема по и, а функция и = φ (x) — по х, то сложная функция y = f (φ (x)) имеет производную y' =f ' (u) ∙ u' (x). Таблица производных основных элементарных функций
. Производной второго порядка (второй производной) от функции называется производная от ее производной, т. е. . Вторую производную также обозначают или . Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и т. д. Производную n -го порядка обозначают или . Примеры. Используя правила дифференцирования и таблицу производных, найдем производные следующих функций: 1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) , 7) . Решение.1) Перепишем данную функцию, записав слагаемые в виде степени: . Тогда . 2) Представим данную функцию в виде степени . 3) Применив формулу дифференцирования произведения функций, находим: . 4) Дифференцируем функцию как сложную . 5) В соответствии с формулой дифференцирования частного получим . 6) По аналогии с примером 3 находим: . 7) Продифференцируем функцию как показательную . Выведем формулу для нахождения производной степенно–показательной функции , считая что и дифференцируемые функции и . Логарифмируя равенство и дифференцируя обе части полученного равенства , находим: . Следовательно, . Таким образом . Пример. , где х> 0, .
|