Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Уравнения в полных дифференциалах
Уравнение
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u (x, y): . Для того чтобы уравнение (5.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы
Если известна функция, полным дифференциалом которой является левая часть уравнения (5.1), то все решения этого уравнения удовлетворяют условию u (x, y)= C, где С - произвольная постоянная. Чтобы найти функцию u (x, y), воспользуемся равенствами:
Интегрируя первое из этих равенств по x, считаем y постоянным, и поэтому константа интегрирования может зависеть от у:
где произвольная дифференцируемая функция, F (x, y)- первообразная от P (x, y). Подберем функцию так, чтобы удовлетворялось второе из соотношений (5.3). Для этого продифференцируем (5.4) по у и результат приравняем к . Таким образом, получим уравнение для определения функции :
Из (5.5) определяем и, интегрируя, находим . Подставляя эту найденную функцию в соотношение (5.4), получаем искомую функцию u (x, y).
Пример 1. Решить уравнение (2 xy +3 y 2) dx + (x2+6 xy -3 y 2) dy = 0. D В данном случае , . , . Следовательно, , и левая часть данного уравнения является полным дифференциалом некоторой функции . Имеем , . Из первого уравнения находим . Для определения функции дифференцируем полученное равенство по у и приравниваем выражению , т.е. . Отсюда . Поэтому . Общее решение записывается в виде Ñ Пример 2. Решить уравнение . D Это уравнение в полных дифференциалах, т.к. . Функцию u (x, y) найдем из уравнений . Интегрируя второе из этих уравнений по у, считая х постоянным, имеем: где − произвольная дифференцируемая функция. . Следовательно, . Ñ
Пусть левая часть уравнения (5.1) не есть полный дифференциал. Иногда удается подобрать такую функцию , после умножения на которую всех членов уравнения его левая часть становится полным дифференциалом. Общее решение полученного таким образом уравнения совпадает с общим решением первоначального уравнения. Функция называется интегрирующим множителем уравнения (5.1). Итак, умножим обе части уравнения (5.1) на
Для того чтобы это уравнение было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение , т.е. .
Таким образом, интегрирующий множитель есть решение уравнения
В некоторых частных случаях уравнение (5.6) упрощается и интегрирующий множитель для уравнения (5.1) легко найти. 1. Если уравнение (5.1)имеет интегрирующий множитель, зависящий только от х, т.е. , то из уравнения (5.6)имеем
2. Если уравнение (5.1) допускает интегрирующий множитель как функцию одной переменной у, т.е. то
Пример 3. Решить уравнение D Выясним, имеет ли данное уравнение интегрирующий множитель как функцию одной переменой. Вычислим . ,т.е. является функцией, зависящий только от х. Следовательно, интегрирующий множитель находим из уравнения , т.е. . Умножая исходное уравнение на , получим уравнение в полных дифференциалах:
.
Записав его в виде ,
имеем Ñ
Лекция 9.
6. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
Дифференциальное уравнение второго порядка в общем случае записывается в виде
или, если это возможно, в разрешённом относительно у' ' виде
Общее решение
этого уравнения содержит две произвольные постоянные и . Любая функция
получающаяся из общего решения уравнения (6.2) при определённых значениях постоянных , называется частным решением. Для дифференциальных уравнений второго порядка задача Коши формулируется следующим образом: найти решение у =y (х) уравнения (6.2), удовлетворяющее начальным условиям
y где и – заданные числа. С геометрической точки зрения условия (6.5) означают, что из семейства интегральных кривых, проходящих через точку , мы выделяем определённую интегральную кривую, имеющую заданный угол наклона . y0 x0 x
Рассмотрим простейшие случаи, когда уравнение второго порядка решается с помощью квадратур, т. е. применением операций неопределённого интегрирования. а) y'' = f (x) (6.6)
Полагаем y'=p (x); тогда y''=p', и уравнение (6.6) примет вид p'=f (x), или dp= f (x) dx. Отсюда p= =F (x) + C 1, где F (x) - первообразная для функции f(x). Так как p=y', то y' = F (x) + C 1, или dy=F (x) dx+C 1 dx.
Интегрируя ещё раз, находим общее решение уравнения (6.6) y= +C 1 x +C 2. Пример 1. Найти общее решение уравнения y'' = cos 2 x.
D Положим y '=p (x); тогда y'' =p', следовательно, p'= cos2 x или dp= cos 2 x dx. Интегрируя это уравнение, находим или , т.е. . Интегрируя второй раз, находим искомое общее решение: , т.е. Ñ
б) y '' = f (y) (6.7)
Для решения этого уравнения снова полагаем , но теперь мы будем считать p функцией от у (а не от ). Тогда .
Относительно вспомогательной функции р получаем уравнение первого порядка . Интегрируя его, найдём р как функцию от у и произвольной постоянной : . Так как , то предыдущее уравнение можно записать так:
.
Далее, разделяя еще раз переменные и интегрируя, окончательно будем иметь . Эту формулу общего решения запоминать не следует, нужно усвоить изложенный способ интегрирования. Пример 2. Проинтегрировать уравнение у''= -у. D Цепочка преобразований: Ñ в) y''=f (y') (6.8)
Полагаем . Уравнение (6.8) примет вид . Разделяя переменные и интегрируя, находим Определив из полученного уравнения величину путем вторичного интегрирования можно найти . Пример 3. Проинтегрировать уравнение .
D Цепочка преобразований:
Возвращаясь к переменной , получим Ñ
Итак, в рассмотренных простейших случаях удаётся свести дифференциальное уравнение второго порядка к уравнению первого порядка, введя в качестве новой неизвестной функции производную Переходим к рассмотрению двух видов уравнений, частными случаями которых являются уравнения (6.7) и (6.8).
|