Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Частные подстановкиУниверсальная подстановка во многих случаях приводит к сложным вычислениям, так как при ее применении и выражаются через t в виде рациональных дробей, содержащих . В указываемых ниже случаях предпочтительнее следующие частные подстановки, также рационализирующие интеграл. а*) Если - нечетная функция относительно , т.е. , то интеграл рационализируется подстановкой . Пример 11. Найти . D Полагая , найдем , , . Поэтому
. Ñ Можно было бы избежать выражения и через t, проведя следующие преобразования: .
б*) Если функция нечетная относительно косинуса, т.е. , то применима подстановка . Пример 12. Найти . D Полагаем . При этом , Ñ Рассмотренный интеграл можно преобразовать, подведя под знак дифференциала, после чего воспользоваться подстановкой . . в*) Если - четная функция относительно и , т.е., если , то к цели приводит подстановка . Пример 13. Найти D Полагаем . Тогда , , , . Имеем . Ñ К выводу о целесообразности применения подстановки можно придти, разделив в исходном интеграле числитель и знаменатель на : . Пример 13а. Найти . . Отметим, что подстановка x=tgt может быть применена к некоторым интегралам от рациональных дробей. Вычислим с помощью этой подстановки интеграл , рассмотренный в конце лекции3. Имеем:
. Учитывая, что t=arctg x, приходим к ответу: . Хотя частные подстановки, когда они применимы, обычно приводят к более простым выкладкам, чем универсальная подстановка, однако в ряде случаев она обеспечивает кратчайший путь. Поэтому при выборе подстановки нужна известная осмотрительность. Пример 14. Найти . D Так как подынтегральная функция нечетна относительно синуса, то применима подстановка . При такой подстановке получим: .
Таким образом, приходим к не очень простому интегралу рациональной дроби. Попробуем универсальную подстановку . Тогда , , и получаем
. Ñ
Универсальная подстановка оказалась предпочтительнее. б) Интегралы вида . Выделим три случая, имеющие особенно важное значение. Случай 1. Если, по крайней мере, один из показателей m или n, нечетное положительное число, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы оставшуюся четную степень через дополнительную функцию, приходим к табличному интегралу. Таким образом, в этом случае интеграл берется непосредственно. Пример 15. Найти . D Здесь показатель степени косинуса равен трем, поэтому делаем подстановку , . Тогда: . Ñ Случай 2. Оба показателя степени m и n – четные положительные числа. Применение формул , , позволяет повторным уменьшением вдвое показателей степеней синуса и косинуса свести рассматриваемые интегралы к легко вычисляемым.
Пример 16. Найти . D Имеем Ñ Случай 3. Если m + n является целым четным отрицательным числом, то целесообразно использовать подстановку или . Пример 17. Найти . D Здесь m + n = . Поэтому вычисление интеграла сводится к интегрированию степеней тангенса:
. Ñ
В общем случае интегралы вида , где m и n - целые числа, вычисляются с помощью рекуррентных формул, которые, как показано выше, выводятся путем интегрирования по частям. В частности, интегралы от нечетной положительной степени секанса или косеканса проще всего находятся по рекуррентным формулам:
,
. Выведем рекуррентную формулу для и с ее помощью найдем . Имеем: .
Для вычисления первого интеграла применяем формулу интегрирования по частям:
Отсюда получаем: Итак, интеграл выражен через : . В частности, при n = 1 имеем: . в) В теории рядов Фурье важное значение имеют интегралы
Тригонометрические формулы: , , , дают возможность произведение тригонометрических функций представить в виде суммы. Пример 18. Найти . D Имеем . Ñ Пример 19. = .
|