Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Прямая задача кинематикиДля систематического и обобщённого подхода к описанию и представлению расположения звеньев манипулятора (исполнительных механизмов робота) относительно заданной абсолютной системы координат применяют матричную и векторную алгебру. Звенья манипулятора могут совершать вращательное и/или поступательное движение относительно абсолютной системы координат, оси которой параллельны осям сочленений звеньев. Прямая задача кинематики сводится к определению матрицы преобразования, устанавливающей связь между абсолютной и связанной системами координат. Для описания вращательного движения связанной системы отсчёта относительно абсолютной используется матрица поворота (вращения) размерностью 3´3. Для поступательного движения используется матрица однородного преобразования размерностью 4´4. Матрицы поворота (вращения). Матрицу поворота размерностью 3´3 можно определить как матрицу преобразования трёхмерного вектора положения в евклидовом пространстве, переводящую его из повернутой (связанной) системы отсчёта OUVW в абсолютную систему координат OXYZ. На рис.2.2 показаны две правые прямоугольные системы координат: система координат OXYZ с осями OX, OY, OZ и система OUVW с осями OU, OV, OW. Начала этих систем совпадают и расположены в точке О. Рисунок 2.2. Абсолютная и связанная системы координат Система OXYZ фиксирована в трёхмерном пространстве и принята за абсолютную. Система координат OUVW вращается относительно абсолютной и физически рассматривается как связанная система координат. Это означает, что она жёстко связанна с твёрдым телом (например, самолётом) и движется вместе с ним. Пусть (ix, jy, kz) и (iu, jv, kw) – единичные векторы, направленные вдоль своей системы OXYZ и OUVW соответственно. Некоторую точку P в пространстве можно характеризовать координатами относительно любой из указанных систем: p uvw = (pu, pv, pw) T и p xyz = (px, py, pz) T (2-1) где T - означает операцию транспонирования. Задача состоит в том, чтобы определить матрицу R размерностью 3´3, которая преобразует координаты p uvw в координаты вектора p системе OXYZ после того, как система OUVW будет повёрнута, т.е.: p xyz = Rp uvw. (2-2) Заметим, что физически точка p вращается вместе с системой координат OUVW. Из определения компонент вектора имеем: p uvw = pu × i u+pv × j v+pw ×k w, (2-3) где pu, pv, и pw представляют собой составляющие вектора p вдоль осей OU, ОV, ОW соответственно, или проекции вектора p на эти оси. Используя определение скалярного произведения и равенства (2-3), получаем: px = i x × p = i x × i u × pu + i x × j v × pv + i x × k w × pw, py = j y × p = i y × i u × pu + j y × j v × pv + j y × k w × pw, pz = k z × p = k z × i u × pu + k z × j v × pv + k z × k w × pw. (2-4) или в матричной форме: . (2-5) С учётом этого выражения матрица R в равенстве (2-2) примет вид: . (2-6) Аналогично, координаты p uvw можно получить из координат p xyz: p uvw = Q × p xyz, (2-7) или . (2-8) Поскольку операция скалярного произведения коммутативна, то из соотношений (2-6)…(2-8) следует Q = R -1 = R T, (2-9) QR = R T R = R -1 × R = I 3, (2-10) где I3 – единичная матрица размерностью 3´3. Преобразование, определяемое формулой (2-9) или (2-10), называется ортогональным преобразованием. Особый интерес представляет матрица поворота системы OUVW относительно каждой из трёх основных системы OXYZ. Если положение системы OUVW в пространстве изменяется за счёт поворота этой системы на угол a вокруг оси OX, то в системе отсчёта OXYZ изменяются и координаты (px, py, pz) T точки (pu, pv, pw). Соответствующая матрица преобразования Rx,a называется матрицей поворота вокруг оси OX на угол a. Основываясь на полученных выше результатах, для матрицы R x,a имеем: p xyz = R x,a × p uvw, (2-11) причём i x i u, и . (2-12)
Рисунок 2.3. Вращающаяся система координат Аналогично, трёхмерные (размерностью 3´3) матрицы поворота вокруг оси OY на угол j и вокруг оси OZ на угол q имеют соответственно вид (рис.2.3). , . (2-13) Матрицы R x,a, R y,j и R z,q называют матрицами элементарных поворотов.
|