Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Метод поетапного iнтегрування
Розглянемо цей метод на такому прикладi. Приклад. На рис. 6.2, a показано тягар А, який може рухатись пiд дiєю двох пружин в прямолiнiйних направляючих. Пружини до тягаря не прикрiпленi. Коефiцiєнти жорсткостi пружин вiдповiдно дорiвнюють с 1 i c 2. В початковий момент часу тягар знаходився в крайньому правому положеннi i був вiдпущений без початкової швидкостi. В положеннi рiвноваги пружини не напруженi. Знайти рiвняння руху тягаря i перiод його вiльних коливань за умови, що сили пружностi пружин описуються законом Гука.
Розв’язання. В положеннi рiвноваги пружини не напруженi i до тягаря не прикрiпленi. При русi тягаря направо вiд нуля до нього прикладена сила пружностi правої пружини, а при русi налiво вiд нуля - лiвої пружини. Характеристика сили пружностi складається з двох прямолiнiйних вiдрiзкiв (рис. 6.2, б). Перiод коливань складається з чотирьох етапiв: 1) пiд дiєю правої пружини з крайнього правого положення в нульове; 2) пiд дiєю лiвої пружини з нульового положення в крайнє лiве; 3) пiд дiєю лiвої пружини з крайнього лiвого положення в нульове; 4) пiд дiєю правої пружини з нульового в крайнє праве положення. Розглянемо рух тягаря на першому етапi з крайнього правого положення в нульове. Рух описується диференцiальним рiвнянням m = - c 1 х, тобто +k 12 x = 0, (6.6) де k 12 = c 1 /m. Загальний розв’язок лiнiйного рiвняння (6.6) має вигляд: х = C 1cos(k 1 t) +C 2sin(k 1 t). (6.7) Знаходимо похiдну за часом: =- C 1 k 1sin(k 1 t) + C 2 k 1cos(k 1 t). (6.8) Згiдно початкових умов при t 0 = 0 x = x 0; = 0. Пiдставляємо їх в рiвняння (6.7) i (6.8), знаходимо C 1 = x 0, C 2 = 0. Значить x = x 0cos(k 1 t); (6.9) = - x 0 k 1sin(k 1 t). Рух тягаря на цьому етапi вiдбувається протягом часу 0 ≤t τ 1, де τ 1 - момент часу, коли тягар приходить в нульове положення. При цьому 0 = x 0cos(k 1 τ 1); (τ 1) = - k 1 x 0sin(k 1 τ 1). (6.10) З першого з цих рiвнянь знаходимо k 1 τ 1 = π/ 2, τ 1 = (π/ 2)/ k 1. (6.11) Отже початковими умовами для другого етапу є х = х (τ 1) = 0; = (τ 1) = - k 1 x 0. (6.12) Рух на цьому етапi описується диференцiальним рiвнянням m = - c 2 х, тобто +k 22 x = 0, (6.13) де позначено k 22 = c 2 /m. Загальний розв’язок рiвняння (6.13) має вигляд: x = C 3cos(k 2 t) + C 4sin(k 2 t). (6.14) Знаходимо похiдну за часом =- C 3 k 2sin(k 2 t) + C 4 k 2cos(k 2 t). (6.15) Пiдставимо в (6.14) i (6.15) початковi умови (6.12) i знайдемо C 3 = 0, C 4 = - (k 1 /k 2) x 0. В цьому разi рiвняння (6.14) записується так: x = - (k 1 /k 2) x 0sin(k 2 t). (6.16) Рiвняння (6.16) описує рух на другому етапi пiд дiєю лiвої частини пружини з нульового положення в крайнє лiве. Цей рух здiйснюється на протязi часу 0 ≤t τ 2. На другому етапi швидкiсть тягаря дорiвнює При t = τ 2 маємо х = х (τ 2); = (τ 2) = 0 i x (τ 2) = - (k 1 /k 2) x 0sin(k 2 τ 2); 0 = - k 1 x 0cos(k 2 τ 2). (6.17) З другого рiвняння (6.11) знаходимо k 2 τ 2 = π/ 2, тобто τ 2 = (π/ 2)/ k 2. (6.18) Пiдставляючи значення τ 2 в перше рiвняння (6.17), визначаємо x (τ 2) = - (k 1 /k 2) x 0. (6.19) Можна сказати, що в момент τ 2 тягар знаходиться в крайньому лiвому положеннi i його координата та швидкiсть дорiвнюють (6.20) Формули (6.20) є початковими умовами руху тягаря на третьому етапi пiд дiєю лiвої пружини з крайнього лiвого положення в нульове. На наступних етапах тягар повторить дослiдженi уже рухи: третьому етапу руху тягаря вiдповiдає рiвняння руху, яке описується рiвнiстю (6.13), а четвертому етапу – рівняння руху, яке описується рiвнiстю (6.6). Шуканий перiод Т вiльних коливань тягаря дорiвнює 2(τ 1 +τ 2): T = π (k 1 +k 2) / k 1 k 2, (6.21) де
|