Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Типовые задачи ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3 Задача № 1. Найти производную функции в точке в направлении , составляющем угол a положительным направлением оси Ох. В каком направлении эта производная имеет: а) наибольшее значение б) наименьшее значение в) значение, равное нулю?
Решение. По условию задачи . Тогда . . Подстановка в формулу: дает . В точке . Теперь найдем те значения a, при которых имеет значения а) наибольшее, б) наименьшее, в) значение, равное нулю. Обозначим и найдем экстремум этой функции. . Считая, что получим: ; функция достигает максимума. При функция достигает минимума. При функция U =0. Ответ:
Задача № 2. Найти производную скалярного поля U=xyz в точке М0 (1,-1,1) по направлению от т. М0 к точке М1 (2,3,1). Решение. Найдем и его направляющие косинусы
Найдем частные производные функции U=xyz в точке М0 (1,-1,1). Полученные значения частных производных и направляющих косинусов подставим в формулу: . Тот факт, что , означает, что скалярное поле в точке М0 в данном направлении возрастает.
«Градиент» Градиентом функции U (x,y,z) в точке M (x,y,z) называется вектор, проекциями которого на оси координат служат значения частных производных этой функции в данной точке, т.е. . Направление есть направление наискорейшего возрастания функции. В противоположном направлении функция быстрее всего убывает.
Типовые примеры № 1. С какой наибольшей скоростью может возрастать функция при переходе точки M (x,y,z) через точку M0 (-1,2,-2)? В каком направлении должна двигаться точка M при переходе через точку M1 (2,0,1), чтобы функция U(M) убывала с наибольшей скоростью?
Решение. Наибольшая по абсолютной величине скорость изменения функции U(M) при переходе через т. Р численно равна модулю градиента функции в точке Р. При этом функция будет возрастать или убывать с наибольшей скоростью, смотря по тому, будет ли точка M при переходе через точку Р двигаться по направлению градиента функции в точке Р или по прямо противоположному направлению. Итак, находим градиент функции U(M): Итак, наибольшая скорость возрастания функции U(M) при переходе точки М через точку М0 равна Итак, чтобы функция убывала с наибольшей скоростью при переходе через точку М, точка М должна двигаться в направлении, противоположном
№ 2. Найти точки, в которых функция стационарна, т.е. точки, в которых производная по любому направлению равна нулю. Решение. Чтобы в некоторой точке Р производная функция по любому направлению была равна нулю, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке все частные производные первого порядка функции одновременно обращались в нуль. ; ;
М1 (1,-1), М2 (-3,1). Ответ: функция z стационарна в точках М1 (1,-1), М2 (-3,1).
|