Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Теоремы Ляпунова
Кроме определений Ляпуновым были разработаны два метода анализа устойчивости решений дифференциальных уравнений. Суть первого метода заключается в замене нелинейной системы (2.70) линейной (линеаризованной) путем разложения правых частей уравнений (2.70) в ряды Тейлора относительно начала координат и отбрасывания всех нелинейных членов. В результате получаются линейные уравнения (уравнения первого приближения)
, , (2.71)
где − постоянные коэффициенты. Ляпуновым доказана следующая основная теорема первого метода, которую приведем в упрощенной форме: если линейная система (2.71) асимптотически устойчива, то положение равновесия нелинейной системы (2.70) будет асимптотически устойчивым в малом, если система (2.71) неустойчива, то положение равновесия (2.70) будет неустойчивым. По первому методу, исключая так называемые критические случаи, задача анализа устойчивости нелинейной системы сведена к более простой задаче анализа линейной системы. Первый метод Ляпунова не позволяет исследовать устойчивость в большом, целом или абсолютную устойчивость. Для этих целей Ляпуновым был разработан второй метод или прямой метод анализа устойчивости. Введем в рассмотрение непрерывную функцию переменных, такую, что при , , т.е. обращающуюся обязательно в ноль в начале координат. Если в некоторой области переменных функция или , то ее называют знакоопределенной: соответствен положительно определенной или отрицательно определенной. Если функция сохраняет свой знак, но может обращаться в ноль не только в начале координат, то ее называют знакопостоянной (положительной или отрицательной). Такие функции в дальнейшем будем называть функциями Ляпунова. Примеры функций: − положительно определенная; − отрицательно определенная; − знакопостоянная функция (положительная). Наконец, функция называется знакопеременной, если в рассматриваемой области она меняет свой знак. Например, . Приведем три основные теоремы Ляпунова второго метода. 1. Если для системы уравнений (2.70) существует знакоопределенная функция , производная которой является знакопостоянной противоположного знака, то решение устойчиво. 2. Если в предыдущем случае производная будет знакоопределенной, но противоположного знака, то решение будет устойчивым асимптотическим. 3. Если для системы уравнений (2.70) существует функция , производная которой является знакоопределенной функцией, причем в любой сколь угодно малой окрестности начала координат, имеется область, в которой знаки и совпадают, то решение системы (2.70) неустойчиво. Отметим, что приведенные в теоремах условия являются только лишь достаточными и эффективность их будет зависеть от выбранной функции Ляпунова . Не существует в общем случае методик выбора функций Ляпунова, дающих необходимые и достаточные условия. Довольно часто в качестве функций Ляпунова используют квадратичные формы, для которых, используя известные критерии, можно сравнительно легко определять их знак.
|