Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Теорема о сходимости и точности метода итерацийТеорема. Пусть уравнение приведено к виду таким образом, что функция дифференцируема и выполняется условие для всех . Тогда: · последовательность ; · ошибка . Доказательство. Построим два соседних приближения в методе итераций: . Очевидно, что , или . Таким образом, . Запишем это неравенство для k= 1, 2 ,…,k в следующем виде: (4.1) Построим вспомогательный ряд (4.2) Частичная сумма членов этого ряда , а значит . По этой причине . Последовательность частичных сумм ряда (4.2) совпадает с последовательностью приближений, вычисленных по методу итераций, а доказательство сходимости вспомогательного ряда эквивалентно доказательству сходимости метода итераций. Рассмотрим вспомогательный числовой ряд (4.3) Ряд (7.3) сходится абсолютно при . Но ряд (7.2) является мажорируемым к ряду (4.3) в силу неравенств (7.1). Следовательно, ряд (7.2) также сходится. Первая часть теоремы доказана. Напоминание. Ряд называется мажорируемым, если каждый его член по модулю не превосходит соответствующего члена некоторого сходящегося ряда с положительными членами. Получим теперь оценку погрешности приближенного решения. На основании леммы имеем: . Найдем . Так как , то . Теперь вычислим . По определению . Тогда . Вторая часть теоремы также доказана. Замечание 1. Величину можно использовать в качестве предельной абсолютной погрешности. Для ее расчета привлекаются два соседних приближения и минимальное по модулю значение первой производной. Предельная же абсолютная погрешность лежит в основе критерия завершения итерационного процесса. Критерий останова: , где – допустимая величина абсолютной ошибки, или . Замечание 2. Рассмотрим теперь, как выбирается при построении функции . Напомним, что . Из теоремы следует, что для сходимости метода итераций необходимо, чтобы . Значит или для . Отсюда можно сделать вывод, что · при ; · при . Лекция 6
|