Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Дифференцирование сложной функцииТеорема 1. Пусть функция дифференцируема в точке ,а ее аргументы и дифференцируемы в точке , причем Тогда сложная функция переменной дифференцируема в точке и ее производная вычисляется по формуле Доказательство. Так как функции и дифференцируемы в точке , то их приращения и , соответствующее приращению аргумента , представимы в виде: где и — бесконечно малые функции при . Так как функция дифференцируема в точке , где , то ее приращение , соответствующее приращениям аргументов и , представимо в виде где и — бесконечно малые функции при . Из дифференцируемости функций в точке следует их непрерывность в этой точке, т.е. при . Поэтому и при . Подставляя выражения (9) в формулу (10), получаем Здесь бесконечно малая функция при , имеющая вид: и ранее показаны Обозначив в (11) выражение в скобках буквой ( не зависит от ), получаем т.е. приращение представлено как сумма линейной части приращения и бесконечно малой более высокого порядка, чем . Отсюда следуют дифференцируемость сложной функции в точке и формула (8) для в этой точке. Теорема доказана. Аналогично формулируются и доказываются теоремы о дифференцируемости сложной функции любого числа переменных. Например: Теорема 2. Пусть функция дифференцируема в точке и ее аргументы и дифференцируемы в точке , причем . Тогда сложная функция переменных и дифференцируема в точке и ее частные производные вычисляются по формулам
(Все производные в этих формулах вычисляютсявыполнены в соответствующих точках.) Пример: Найти частные производные функции , где тогда в соответствии с (12 и 13) получим:
Инвариантность формы полного дифференциала Пусть функция , где и — независимые переменные, дифференцируема в некоторой точке . Известно, что ее дифференциал в этой точке определяется формулой где и — приращения независимых переменных и . Пусть теперь и — не независимые переменные, а функции и , дифференцируемые в точке . Тогда по теореме 2 сложная функция переменных и дифференцируема в точке . Следовательно, ее дифференциал определяется формулой Подставляя сюда и , определяемые формулами (12) и (13), и выполняя простые преобразования, получаем
Таким образом, дифференциал функции , когда и являются функциями, совпадает по форме с дифференциалом функции , когда и — независимые переменные. Это свойство называют инвариантностью [2] формы первого дифференциала. Следует иметь в виду, что в случае независимых переменных и их дифференциалы и совпадают с приращениями и . В случае, когда и сами являются функциями, их дифференциалы, вообще говоря, не совпадают с приращениями и , а являются лишь их линейными частями. Свойство инвариантности формы полного дифференциала распространяется на функции любого числа переменных.
|