![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Частные производныеСтр 1 из 8Следующая ⇒ Основные понятия. Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D. Обычно функция нескольких переменных задается явным аналитическим способом. Например: z=3x+5y2,u=xy+z2 и т.д. Встречается также и неявное задание таких функций, например: z-2x-sinxy=0. Упорядоченная пара чисел (x,y) может рассматриваться как точка на плоскости, т.е. Z есть функция точки (x,y). Чтобы задать функцию z = f (x,y), надо не только указать правило нахождения z по заданным x и y, но и то множество (называемое областью задания функции) пар значений, которые могут принимать аргументы x и y. Например, функция z=
Для функции трех переменных областью определения является упорядоченная тройка чисел (x,y,z), т.е. некоторая совокупность точек пространства. Область определения функции четырех и большего числа переменных не допускает простого геометрического истолкования. Функции двух переменных допускают графическую иллюстрацию. Графиком функции z = f(x,y), заданной на некотором множестве D точек плоскости ХОУ, называется множество точек (x,y,z) пространства, у которых (x,y) принадлежит D, а z = f (x,y). В наиболее простых случаях такой график представляет собой некоторую поверхность. Например, графиком функции z =4- x 2- y 2 является параболоид. Функции трех и большего числа переменных не имеют геометрического представления. 2 .Непрерывность функции нескольких переменных. Определение. Число А называется пределом функции f(M), где М(x1,x2,…xn) – точка n-мерного пространства, при стремлении точки М к точке М0(x10,x20,…xn0) любым образом, если для всякого сколь угодно малого Обозначается: А Пусть z=f(x,y). Придадим x и y приращения т.е. бесконечно малым аргументам соответствует бесконечно малое приращение функции, то говорят, что функция непрерывна. Распишем т.е. непрерывность функции означает, что ее предел равен ее значению от пределов аргументов. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в области. Если в некоторой точке не выполняется условие (2), то эта точка называется точкой разрыва. Частные производные. Пусть z=f(x,y). Зафиксируем какую-либо точку (x,y), а затем, не меняя закрепленного значения аргумента y, придадим аргументу x приращение Аналогично, если x сохраняет постоянное значение, а y получает приращение Определение. Частной производной по x от функции z=f(x,y) называется предел отношения частного приращения Частная производная обозначается одним из символов Аналогично определяется частная производная по y: Таким образом, частные производные функции двух переменных вычисляются по тем же правилам, что и производные функции одного переменного. Пример. Найти частные производные функции z=x2e x-2y. Решение. Частные производные функции любого числа переменных определяются аналогично. Функции нескольких переменных. Основные определения и свойства. Рассматривается множество При n = 2 уравнение F (x,y) = C задает линии уровня поверхности z = F (x,y), а при n = 3 уравнение F (x,y,z) = С – поверхности уровня. Задание ФНП может быть неявным: F (x,u) = 0 или параметрическим Примеры. Поверхности 2 – го порядка. Как и в случае одной переменной, определяется предел ФНП: Вместо условия Справедливы все общие свойства пределов: арифметические свойства, переход к пределу в неравенствах и т.д. Тем не менее, понятие предела ФНП оказывается более сложным за счет того, что стремление т. х к хо может осуществляться большим числом способов, нежели в случае одной переменной.
Геометрический смысл функции 2-х переменных очень прост. Если функции одной переменной С элементарным примером поверхности мы хорошо знакомы ещё из курса аналитической геометрии – это плоскость
Дифференциалы высших порядков. Определение 1. Дифференциал от первого дифференциала функции называется вторым дифференциалом: Вычислим второй дифференциал функции двух переменных Не трудно видеть, что второй дифференциал представляет собой квадратичную форму от переменных dx и dy. Матрица этой квадратичной формы есть матрица Гессе, т.е. d 2 z = (dx,dy)Г(dx,dy) T (см. раздел «Линейная алгебра», квадратичные формы). Кроме того, второй дифференциал можно записать в символическом виде: Можно показать, что в общем случае дифференциал 2 – го порядка функции u = F (x) равен Дифференциал m – го порядка равен
Производная по направлению. Градиент. Рассматривается функция Определение 1. Производная функции u = u (x, y, z) по переменной t называется производной по направлению l Так как на этой прямой u – сложная функция одной переменной, то производная по t равна полной производной по t (§ 12). Она обозначается Определение 2. Градиентом функции u (х 1, х 2,…, х n) называется вектор, координаты которого равны частным производным функции u: В нашем случае 1. Градиент ортогонален касательной плоскости к поверхности уровня в данной точке. 2. Градиент направлен в сторону максимального роста (изменения) функции в т. М 0. {Этот максимум достигается при φ = 0, т.е. при 3. Величина наибольшей скорости роста функции равна
|