Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність досліджень дисертаційної роботи, висвітлено новизну одержаних результатів, подано зв’язок досліджень із науковою держбюджетною темою, у виконанні якої брав участь автор, сформульовано мету роботи.

У першому розділі викладено історію виникнення суперсиметрії у квантовій механіці, зроблено огляд літератури за цією проблемою та висвітлено сучасний стан досліджень у галузі суперсиметричної квантової механіки.

У другому розділі розглянуто суперсиметричну квантову механіку з N суперзарядами, які задовольняють таку супералгебру:

.

Для пошуку суперсиметрії в реальних фізичних системах зручно представити гамільтоніан і суперзаряди так

,

де оператори парності Віттена задовольняють умовам . Розглянуто нерелятивістський рух електрона в тривимірному магнітному полі, який описується гамільтоніаном Паулі, де — утворений з матриць Паулі, — векторний потенціал, магнітне поле = rot . При g = 2 гамільтоніан Паулі володіє суперсиметрією і записаний у вигляді квадрата суперзаряду

,

.

Показано, що при русі електрона в полі з векторним потенціалом, який має таку симетрію стосовно інверсії осі z існує оператор Віттена , де — оператор інверсії. Таким чином, реалізовується суперсиметрія з двома суперзарядами. Знайдено приклад такого поля. Це є поле соленоїда, розміщеного вздовж осі z і симетричного відносно інверсії цієї осі. Суперсиметрія з трьома суперзарядами реалізується в полі прямого струму, напрямленого вздовж осі x. У цьому випадку існують два оператора Віттена . Суперсиметрія з чотирма суперзарядами має місце в магнітному полі квадруполя (рис. 1). Тоді: .

Рисунок 1. Магнітне поле, в якому реалізовується суперсиметрія з чотирма суперзарядами. Поле створено магнітними моментами, як зображено на цьому рисунку.

Отримана також розширена алгебра суперсиметрії, а саме показано, що оператори Віттена можуть бути включені в неї

Показано, що суперсиметрію двовимірного гамільтоніану Паулі (рух електрона у площині xy в однорідному магнітному полі) можна пов’язати із сплутаністю спінових та координатних станів електрона. Внаслідок суперсиметрії ненульові енергетичні рівні електрона в магнітному полі є двократно виродженими. Для додатного значення спіну розв’язок координатної частини y ₁(x,y), а для від’ємного — y ₂(x,y). Найбільш загальний стан, який можна утворити, використовуючи координатні функції y ₁, y ₂ та спінові |­ñ, |¯ñ, такий:

.

Цей стан не обов’язково є власним станом електрона в магнітному полі. За аналогією із мірою сплутаності (узгодженості) між двома спінами ми вводимо міру сплутаності між спіновими та координатними станами електрона

,

яка змінюється від нуля (несплутаний стан) до одиниці (максимально сплутаний стан). Несплутаним станом ми називаємо стан, який можна записати як добуток координатної та спінової функцій

.

Власна функція електрона в магнітному полі, внаслідок двократного виродження, є лінійною комбінацією двох власних станів.

Знайдено, що міра сплутаності (узгодженість С) для цього стану пов’язана із середніми значеннями суперзарядів

,

де

.

Показано, що власні стани суперзарядів є максимально сплутаними станами

,

де при e^{i a} = ± 1 маємо два власні стани суперзаряду Q ₀, а при e^{i a} = ± i — два власні стани суперзаряду Q ₁. Міра сплутаності координатних та спінових станів (узгодженість C) у цьому випадку є максимальною та рівна одиниці.

У третьому розділі розглянута суперсиметрія гамільтоніана Дірака.

Суперзаряд, який комутує з цим гамільтоніаном, є таким:

,

де

.

Гамільтоніан Дірака із суперзарядом пов’язані рівнянням

.

Показано, що суперсиметрія релятивістського електрона з двома, трьома і чотирма суперзарядами реалізується у тих самих тривимірних магнітних полях, що і нерелятивістського. Відповідні оператори Віттена в цьому випадку є такими:

.

У релятивістському випадку також знайдено розширену алгебру суперсиметрії, яка включає в себе оператори парності Віттена.

У чертвертому розділі досліджено основний стан електрона для двох випадків: двовимірний рух електрона в магнітному полі з масою, залежною від координат, та в полі прямого струму.

Розглянуто масу, залежну від координат , де f (r) — функція деформації. При цьому виникає добре відома проблема впорядкування маси та імпульсу в кінетичній енергії. Запропоновано один із способів впорядкування, який зберігає суперсиметрію гамільтоніану Паулі, тобто гамільтоніан можна записати як квадрат ермітового оператора

,

де

.

Оскільки оператор інверсії комутує з f (r), то у цьому випадку для відповідних магнітних полів також реалізовується суперсиметрія з двома, трьома і чотирма суперзарядами. Отримано гамільтоніан Паулі для цього випадку. Досліджено нульові моди електрона при русі у площині x–y з аксіально симетричним магнітним полем

.

Узагальнено теорему Ааронова–Кашера про кількість станів з нульовою енергією електрона в магнітному полі, коли функція деформації при великих має асимптотику ,

,

де k < 1. При k > 1

Зауважимо, що частковий випадок k = 0 відповідає теоремі Ааронова–Кашера про кількість станів з нульовою енергією електрона з постійною масою у магнітному полі.

У цьому розділі також проведено розрахунок індексів Віттена при русі електрона у магнітному полі.

У п’ятому розділі розглянуто квазі-точно розв’язуване двовимірне рівняння Паулі. Задача називається квазі-точно розв’язуваною, якщо для неї вдається знайти в явному вигляді кілька енергетичних рівнів та відповідних хвильових функцій. У цьому розділі ми поширили розвинутий раніше метод для побудови квазі-точно розв’язуваних потенціалів з двома відомими станами на випадок двовимірного рівняння Паулі з аксіально симетричним векторним потенціалом.

,

де . Гамільтоніан Паулі у цьому випадку можна записати так:

,

де — суперсиметричні партнери і мають факторизований вигляд. Власне, цей факт є надалі важливий для побудови квазі-точно розв’язуваних магнітних полів. Розв’язок рівняння на власні значення шукаємо у вигляді

.

Для радіальної частини хвильової функції маємо рівняння

,

де радіальна частина гамільтоніану Паулі знову має факторизований вигляд

,

а оператори породження і знищення мають такий самий вигляд, як в одновимірній суперсиметричній квантовій механіці

з суперпотенціалом

.

Власне, цей факт дає можливість застосувати суперсиметричну одновимірну квантову механіку для побудови квазі-точно розв’язуваних двовимірних магнітних полів. Для радіальної частини хвильової функції основного стану знаходимо

,

а для функції першого збудженого рівня, відповідно

,

де суперпотенціали W, W ₁ виражаються через генеруючу функцію W ₊

Різним генеруючим функціям W ₊ відповідають різні магнітні поля, для яких рівняння Паулі є квазі-точно розв’язуваним з двома відомими рівнями. Енергію рівня e знаходимо з умови несингулярності в усіх точках, крім r = 0. У випадку, коли W ₊ має один нуль в точці a, знаходимо 2 e = W ¢₊(a). Вибравши відповідним чином генеруючу функцію, можна забезпечити також несингулярність магнітного поля в нулі. Для генеруючої функції

маємо

при g = 2(m – 1) векторний потенціал є несингулярною функцією

.

Якщо f (r) = f ¢(0) r при r ®0, то магнітне поле буде також несингулярною функцією.

Як приклад розглянуто дві генеруючі функції. Перша з них дає однорідне магнітне поле, і задача, таким чином, стає точно розв’язуваною. Для другої генеруючої функції

отримано в явному вигляді векторний потенціал, хвильові функції основного стану та першого збудженого для руху електрона в ньому. Зауважимо, що друга генеруюча функція узагальнює першу і зводиться до неї при b = 0.

Дисертаційна робота завершується Висновками та Списком використаних джерел.

Основні результати та висновки дисертації можна викласти у вигляді таких тверджень:

1. Вперше знайдено нові тривимірні поля, для яких реалізується суперсиметрія гамільтоніанів Паулі та Дірака з двома, трьома та чотирма суперзарядами.

2. Підтверджено, що суперсиметрія електрона в полі прямого струму є порушеною, тобто не існує стану з нульовою енерґією.

3. Вперше знайдено вираз для енерґії основного стану та хвильової функції електрона в полі прямого струму з аксіально-симетричним розподілом густини в асимптотиці малого повного орбітального моменту електрона.

4. Вперше знайдено нові квазі-точно розв’язувані аксіально-симетричні магнітні поля з двома відомими енерґетичними рівнями електрона.

5. Розглянуто рівняння Паулі з масою, залежною від координат, та вперше узагальнено на цей випадок теорему Ааронова–Кашера про зв’язок кількості зв’язаних станів з величиною магнітного потоку.

6. Вперше показано, що із суперсиметрією гамільтоніана Паулі пов’язана сплутаність спінових та координатних станів. Квадрат міри сплутаності (узгодженості) дорівнює сумі квадратів середніх значень суперзарядів, розділеній на енергію електрона. Власні стани суперзарядів є максимально сплутаними.

Основні результати дисертації опубліковано в таких роботах:

1. Tkachuk V. M. The N = 4 Supersymmetry of Electron in the Magnetic Field / Tkachuk V. M., Vakarchuk S. I. // J. Phys. Stud.— 1996.— V. 1, No. 1.— P. 39-41.

2. Tkachuk V. M. Supersymmetry of the Electron in a Three-Dimensional Magnetic Field / Tkachuk V. M., Vakarchuk S. I. // Phys. Lett. A.— 1997.— V. 228, Issue 3.— P. 141-145.

3. Вакарчук С. І. Iндекси Віттена для задачі пpо pух електpона в магнітному полі / Вакарчук С. І. // Вісн. Львів. ун-ту, сеp. фізична.— 1998.— Вип. 31: Фізика і хімія матеріалів електронної техніки.— С. 17-19.

4. Tkachuk V. M. Broken supersymmetry for the electron in the magnetic field of straight current / Tkachuk V. M., Vakarchuk S. I. // J. Phys. Stud.— 1999.— V. 3, No. 3.— P. 291-294.

5. Tkachuk V. M. Ground state of the electron in the magnetic field of a straight current / Tkachuk V. M., Vakarchuk S. I. // J. Phys. A.— 2001.— V. 34.— P. 653-662.

6. Ткачук В. М. Квазіточно розв’язуване рівняння Паулі / Ткачук В. М., Вакарчук С. І. // Журн. фіз. дослідж.— 2002.— Т. 6, №2.— С. 147-152.

7. Ткачук В. М. Рівняння Паулі з масою, залежною від координат / Ткачук В. М., Вакарчук С. І. // Журн. фіз. дослідж.— 2006.— Т. 10, №2.— С. 81-85.

8. Ткачук В. М. Суперсиметрія гамільтоніана Паулі та сплутаність квантових станів / Ткачук В. М., Вакарчук С. І. // Журн. фіз. дослідж.— 2008.— Т. 12, №4.— 4004.— 3 с.

9. Ткачук В. М. Точна і порушена суперсиметрія рівняння Паулі для тривимірного магнітного поля / Ткачук В. М., Вакарчук С. І. // Науковий семінар з статистичної теорії конденсованих систем: Програма і тези доп., Львів, 14-15 берез. 1997 р.— Львів, 1997.— С. 65.

10. Vakarchuk S. Supersymmetry of the Pauli Equation in a Three-Dimensional Magnetic Field / Vakarchuk S. // XII. International Conference for Physics Students ICPS-97, Vienna Univercity of Technology, August 10th — August 17th 1997.— P. 25.

11. Tkachuk V. M. Large supersymmetry breaking for the motion of the electron in a magnetic field / Tkachuk V. M., Vakarchuk S. I. // INTAS–Ukraine: Workshop on Condensed Matter Physics. Lviv, May 21-24, 1998.— Lviv, 1998.— P. 102.

12. Tkachuk V. M. Motion of the electron in the magnetic field of straight current and supersymmetry / Tkachuk V. M., Vakarchuk S. I. // Workshop on Modern Problems of Soft Matter Theory: Book of Abstr., Lviv, 27-31 Aug. 2000.— Lviv, 2000.— P. 101.

13. Tkachuk V. M. Supersymmetry of Pauli equation with position dependent mass / Tkachuk V. M., Vakarchuk S. I. // Proceedings of IV International Conference “Physics of Disordered Systems”, Lviv, Ukraine, 14-16 October, 2008 = Матеріали IV міжнародної наукової конференції “Фізика невпорядкованих систем”, Львів, Україна, 14-16 жовтня, 2008.— P. 9.