Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Колебательном контуре
Рассмотрим подключение источника постоянной ЭДС к последовательной RLC цепи (рис.2.3). В качестве независимой переменной в последовательном контуре выбираем напряжение на емкости uC(t), так как в этом случае упрощается определение постоянной интегрирования, в параллельном контуре в качестве независимой переменной выбирается ток через индуктивность iL(t). В линейных цепях 2-го второго порядка начальными условиями являются напряжение на емкости и ток через индуктивность до коммутации. Моменту коммутации ключа соответствует t=0. Величины uC(0) и iL(0) находятся из эквивалентной схемы электрической цепи для установившегося режима до коммутации, когда индуктивность представляет собой короткое замыкание, а емкость разрыв цепи. Используя правила последовательного и параллельного соединения сопротивлений и законы Ома и Кирхгоффа, находим iL(0)=0 (нулевые начальные условия), uC(0)=E (ненулевые начальные условия). Составим дифференциальное уравнение. (2.4) (2.5) Учитывая, что , запишем (2.6) Выражение (2.6) является дифференциальным уравнением II–го порядка. Его решение состоит из суммы свободной и принужденной составляющих: . (2.7) Свободная составляющая является решением однородного дифференциального уравнения: (2.8) Для определения составляется характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (2.8): . (2.9) . Данное выражение получается путем замены каждого дифференциала функции uc (t) на оператор p. При этом степень дифференцирования равна степени оператора p, следовательно uc соответствует p0 = 1. Также данное уравнение можно получить следующим способом: Составляется схема после коммутации, в которой все источники ЭДС заменяются коротким замыканием, а все разомкнутые ветви отбрасываются. Далее одна из ветвей полученной электрической цепи разрывается (рекомендуется делать разрыв на месте источника ЭДС) и относительно точек разрыва вычисляется комплексное входное сопротивление. При этом учитывается, что комплексное сопротивление индуктивности , а комплексное сопротивление емкости . Полученное выражение для входного сопротивления цепи приравнивается к нулю, а произведение jω заменяется на оператор p. Находятся корни характеристического . (2.10) Вводятся обозначения – коэффициент затухания, – резонансная частота контура, – частота собственных колебаний контура. Тогда корни характеристического уравнения выглядят следующим образом: p1, 2=α±jωc. (2.11) Действительная часть корней характеристического уравнения α определяет постоянную времени затухания колебаний контура , (2.12) а мнимая часть корней характеристического уравнения период этих колебаний Т=2π/ωс. Важным параметром, определяющим характер переходного процесса в колебательных контурах, является добротность , (2.13) где – характеристическое сопротивление контура. Используя выражение (2.10) корни характеристического уравнения можно представить в виде . (2.14) В зависимости от величины добротности могут быть три варианта корней характеристического уравнения и, соответственно, три вида свободной составляющей переходного процесса 1. , корни действительные и различные, переходной процесс носит апериодический характер ; 2. , корни действительные, равные, переходной процесс носит промежуточный характер ; 3. , корни комплексно-сопряженные, переходной процесс носит колебательный затухающий характер , где А1, А2, А, Q – постоянные интегрирования, находятся из начальных условий. Принужденная составляющая решения уравнения (2.7) находится в установившемся режиме из схемы после коммутации, в которой индуктивность заменяется коротким замыканием, а емкость – разрывом цепи. Так как для схемы, представленной на рис 2.3, после коммутации при источник ЭДС отключается от контура принужденная составляющая Uпр=0 решение дифференциального уравнения (2.7) состоит только из свободной составляющей: . (2.15) Рассмотрим случай, когда , тогда корни характеристического уравнения (1.9) вещественные и различные p1<0, p2<0 (2.16) Свободная составляющая для этого случая состоит из двух компонент . (2.17) Постоянные интегрирования А1 и А2 находим из начальных условий. Для использования начального условия для индуктивности iL(0)=0 необходимо определить выражение для тока в электрической цепи: . (2.18) Подставляя при t=0 начальные условия для uC(0)=E и iL(0)=0 получим: (2.19) Решая полученную систему уравнений определяем значения постоянных интегрирования: (2.20) Тогда напряжение на емкости во время переходного процесса будет описываться выражением , (2.21) а ток в контуре (2.22) Учитывая, что , (2.23) получим . (2.24) Используя выражение для тока можно рассчитать uL: . (2.25) На интервале происходит разряд конденсатора и заряд индуктивности, далее при конденсатор и индуктивность разряжаются. В течении всего интервала через резистор R протекает ток и запасенная в реактивных элементах энергия постепенно расходуется до нуля. Так как напряжение на конденсаторе при его разряде изменяется монотонно (без колебаний) переходной процесс называют апериодическим. Рассмотрим случай, когда Q>0.5, тогда корни характеристического уравнения (1.9) комплексно-сопряженные: , (2.26) Тогда решение однородного дифференциального уравнения для этого случая записывается в виде: , (2.27) где A и Q – постоянные интегрирования, для нахождения которых используются начальные условия uC(0)=E и iL(0)=0. Для использования начального условия для индуктивности iL(0)=0 необходимо определить выражение для тока в электрической цепи: (2.28) Подставляя при t=0 начальные условия для uC(0)=E и iL(0)=0 получим: (2.29) Решая полученную систему уравнений определяем значения постоянных интегрирования: . (2.30) При больших добротностях постоянная интегрирования и приближенно выражения для напряжений и токов во время переходного процесса можно записать в виде: (2.31) Временные диаграммы напряжений на реактивных элементах С и L и тока в контуре показаны на рисунке 2.5 В контуре во время переходных процессов имеет место колебательный процесс обмена энергией между емкостью и индуктивностью с частотой . Интервал T=2π/wc называют квазипериодом колебаний. Перезарядный ток i(t) протекает через сопротивление R и часть энергии, сосредоточенной в реактивных элементах, расходуется, поэтому переходной процесс имеет затухающий характер. Затухание происходит по экспоненциальному закону с коэффициентом затухания . Чем больше сопротивление R, тем больше коэффициент затухания и тем быстрее завершается переходной процесс. При Q<0,5 переходной процесс из колебательного превращается в апериодический. Случай когда Q<0,5 является пограничным между колебательным и апериодическим. Теоретически можно представить себе контур без потерь с , в котором существуют незатухающие колебания с частотой . В контуре без потерь имеет место переменный обмен энергией между С и L при котором энергия электрического поля конденсатора преобразуется в энергию магнитного поля индуктивности и затем, наоборот. В реальных электрических цепях R>0, поэтому переходной процесс имеет затухающий характер.
|