Разложение вектора по неколлинеарным векторам
Пусть векторы а и b – два данных вектора. Если вектор p представлен в виде p=х* а + y* b, где x и y – некоторые числа, то вектор p разложен по векторам а и b. Числа x и y – коэффициенты разложения.
13. Построения.
14. Скалярное произведение векторов и его свойства. Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Свойства: 1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля: a · a ≥ 0 2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору: a · a = 0 <=> a = 0 3. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:
a · a = |a|2 4. Операция скалярного умножения коммуникативна:
a · b = b · a 5. Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:
a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=> a ┴ b 6. Операция скалярного умножения дистрибутивна:
(a + b) · c = a · c + b · c
15. Признаки параллелограмма. 1. Если противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
3. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. 4. Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Доказательство: Рассмотрим четырехугольник ABCD. Пусть в нем стороны AB и СD параллельны. И пусть AB=CD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD. Эти треугольники равны между собой по двум сторонам и углу между ними (BD - общая сторона, AB = CD по условию, ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при секущей BD параллельных прямых AB и CD.), а следовательно ∠3 = ∠4. А эти углы будут являться накрест лежащими при пересечении прямых BC и AD секущей BD. Из этого следует что BC и AD параллельны между собой. Имеем, что в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник ABCD является параллелограммом. Теорема доказана.
16. Вывод формулы радиуса вписанной и описанной в многоугольнике окружности. 1. Пусть r – радиус вписанной окружности, R – радиус описанной окружности, n – количество сторон и углов многоугольника. 2. Рассмотрим правильный n-угольник. Пусть a – сторона n-угольника, α – угол. 3. Построим точку O – центр вписанной и описанной окружности. 4. OC – высота ΔAOB. 5. Рассмотрим ΔАОС: ∠С = 90° - (по построению), ∠ОАС = α/2 – (ОА – биссектриса угла n-угольника), АС = а/2 – (ОС – медиана к основанию равнобедренного треугольника), пусть ∠АОС = β, а ∠АОВ = 360°/n, тогда β = 0,5 * ∠АОВ = 0,5 * (360°/n) = 180°/n. R = OB = = r = OC = =
17. Касательная к окружности. Если прямая имеет единственную общую точку с окружность, то такая прямая называется касательной к окружности. Основная теорема о касательной. Радиус, проведенный в точку касания окружности, перпендикулярен касательной.
Доказательство: Предположим, что р не перпендикулярна ОА.
В этом случае радиус ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведённый из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки, т. е. р – секущая. Но это противоречит условию теоремы, что p - касательная к окружности. Так как получили противоречие, то предположение, что p не перпендикулярно ОА было неверным, значит, p перпендикулярна ОА. Итак, касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. Ч. т. д.
Теорема о равенстве отрезков касательной. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, а прямая, соединяющая эту точку с центром окружности, делит угол между касательными пополам.
Доказательство: Используя предыдущую теорему, утверждаем, что ОВ перпендикулярен АВ, а ОС - АС. Прямоугольные треугольники АВО и АСО равны по катету и гипотенузе (ОВ=ОС - радиусы, АО - общая). Поэтому равны и их катеты АВ=АС и углы ОАС и ОАВ. Теорема доказана.
Вывод формулы радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности. Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником, у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат. Следовательно, CD = CF = r, => c = AE + BE = b – r + a – r = a + b – 2r. Следовательно, принимая во внимание теорему Пифагора, получаем: r = (a + b – c)
Следствия из теоремы косинусов (к пункту 18) 1. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. 2. В любом треугольнике со сторонами a, b и c длины медиан m вычисляются по формуле:
18. Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Доказательство: Пусть есть Δ ABC. Докажем, что BC2 = AC2 + AB2 - 2AC*AB*cos A. Имеем векторное равенство B̅C̅ = A̅C̅ - A̅B̅. Возведем в квадрат левую и правую часть равенства, получим B̅C̅2 = A̅C̅2 + A̅B̅2 – 2A̅C̅*A̅B̅. Или BC2 = AC2 + AB2 – 2AC*AB*cos A Теорема доказана.
Теорема о сумме квадратов диагоналей параллелограмма. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон. Доказательство: Построим два вектора a̅ и b̅, выходящие из одной вершины параллелограмма и совпадающие с его сторонами. Тогда одна из диагоналей, по правилу параллелограмма, является суммой этих векторов, а вторая, по правилу треугольника - разностью: d̅1 = a̅ + b̅ d̅2 = a̅ - b̅ Возведя в квадрат (скалярно) оба равенства, получим: d̅12 = a̅2 + 2a̅b̅ + b̅2 d̅22 = a̅2 - 2a̅b̅ + b̅2
Сложив оба равенства, учитывая, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, то есть, длины, получим требуемое свойство. Теорема доказана.
19. Свойства параллелограмма: 1. Противолежащие стороны равны;
2. Противоположные углы равны;
3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам;
4. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
5. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон.
Доказательство (1): Пусть ABCD – данный параллелограмм. И пусть его диагонали пересекаются в точке O.
Так как Δ AOB = Δ COD по первому признаку равенства треугольников (∠ AOB = ∠ COD, как вертикальные, AO=OC, DO=OB, по свойству диагоналей параллелограмма), то AB=CD. Точно также из равенства треугольников ВОС и DOA, следует, что BC=DA. Теорема доказана.
|