![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Частинні похідні n-го порядку
Частинні похідні
Теорема 1. Якщо функція z=f(х;y) та її частинні похідні
Частинні похідні другого порядку знову можна диференціювати по х та по y. При цьому отримаємо частинні похідні третього порядку, яких для функції двох змінних z=f(х;y) буде вісім:
Означення 20. Частинною похідною n-го порядку функції z=f(х;y) називається частинна похідна першого порядку від частинної похідної (n-1)-го порядку. Приклад 14. Для функції Знайдемо спочатку частинні похідні першого та другого порядків заданої функції:
Тепер розглянемо вираз та підставимо знайдені похідні: що і треба було довести. Приклад 15. Знайти частинні похідні другого порядку функції Знайдемо частинні похідні першого порядку:
А тепер знайдемо частинні похідні другого порядку: Таким чином
10. ЕКСТРЕМУМ ФУНКЦІЇ z=f(х;y)
Означення 21. Точка M0(x0;y0) називається точкою локального максимуму функції z=f(х;y) якщо існує такий окіл точки M0, в якому для будь-якої точки M(x;y) (окрім самої точки M0(x0;y0)) виконується нерівність
Означення 22. Точка M0(x0;y0) називається точкою локального мінімуму функції z=f(х;y), якщо існує такий окіл точки M0, в якому для будь-якої точки M(x;y) (окрім самої точки M0(x0;y0)) виконується нерівність
Означення 23. Локальні мінімуми і максимуми функції називаються її локальними екстремумами. Точка, в якій досягається локальний екстремум функції, називається точкою локального екстремуму. Приклад 16. Функція
Теорема 2 (необхідні умови локального екстремуму). Якщо диференційована функція z=f(х;y), має в точці M0(x0;y0) локальний екстремум, то виконуються рівності:
Означення 24. Точки, в яких виконуються рівності (6.34), або в яких Теорема 3 (достатні умови локального екстремуму). Нехай у точці M0(x0;y0) і деякому її околі функція z=f(х;y) має неперервні частинні похідні до третього порядку включно; нехай, крім того, функція z=f(х;y) досягає в точці M0(x0;y0) локального максимуму, якщо функція z=f(х;y) досягає в точці M0(x0;y0) локального мінімуму, якщо функція z=f(х;y) не має в точці M0(x0;y0) локального екстремуму, якщо функція z=f(х;y) може мати і може не мати в точці M0(x0;y0) локального екстремуму, якщо ∆=0 (в цьому випадку потрібно провести додаткові дослідження). Приклад 17. Дослідити на екстремум функцію Спочатку знайдемо критичні точки, для чого використаємо необхідні умови (6.34) локального екстремуму. Так як
Отже, точка Тепер перевіримо для цієї точки достатні умови локального екстремуму. Маємо Приклад 18. Дослідити на екстремум функцію Знайдемо критичні точки, використовуючи необхідні умови локального екстремуму.
і, отже, маємо 2 критичні точки М1(0;0) і М2(1;1). Знайдемо частинні похідні другого порядку умов локального екстремуму.
Тепер розглянемо, чи виконуються достатні умови локального екстремуму у точці М2(1;1).
Згідно з теоремою 3 у точці М2(1;1) задана функція досягає локального мінімуму і Приклад 19. Дослідити на екстремум функцію Згідно з теоремою 2 необхідні умови існування локального екстремуму виглядять так:
Розв’язком цієї системи рівнянь є Отже, критична точка М0(0;0). Знайдемо другі частинні похідні:
Тоді
Згідно з теоремою 3 потрібні додаткові дослідження. Проведемо їх:
|