Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Основные свойства определенного интеграла.
, где k = Const и f(x) – функция, интегрируемая на [a, b]. Доказательство. Составим интегральную сумму для функции kf(x): , тогда .
. Доказательство.
3. Если поменять местами пределы интегрирования, то знак интеграла изменится на противоположный: . Это свойство можно доказать по определению определенного интеграла (аналогично свойствам 1 и 2). Оно подтверждается формулой Ньютона-Лейбница: .
4. Определенный интеграл по всему отрезку интегрирования равен сумме интегралов по частям этого отрезка (аддитивность определенного интеграла): Доказательство. При разбиении отрезка [ a, b ] на части включим точку с в число точек деления (это можно сделать, т.к. интегральная сумма не зависит от способа разбиения отрезка [ a, b ] на части). Если c = xm, то интегральную сумму можно разбить на две суммы: . (*) Каждая из сумм в равенстве (*) является интегральной суммой функции f(x) соответственно для отрезков [ a, b ], [ a, с ] и [с, b ]. Переходя к пределу в равенстве (*) при n ® ¥ (l®0), получим .
Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница имеем , где F¢(x) = f(x). Применяя к разности F(b) – F(a) формулу Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F(b) – F(a) = F¢(c)×(b – a) = f(c)×(b – a).
Геометрический смысл теоремы о среднем: Если f(x) ³ 0, то значение определенного интеграла равно площади прямоугольника с высотой f(c) и основанием b – a, где c Î (a, b). y y = f(x) a 0 c b Число называется средним значением функции f(x) на отрезке [ a, b ]. 6. Если функция f(x) сохраняет знак на отрезке [ a, b ] (a < b), то интеграл имеет тот же знак, что и функция.
Доказательство. Пусть f(x) ³ 0 на отрезке [ a, b ], тогда по теореме о среднем , где c Î (a, b). Но, т.к. f(x) ³ 0 при " x Î [ a, b ], то и f(с) ³ 0 и b – a > 0, поэтому f(c)(b – a) ³ 0.
Например, если f1(x) £ f2(x) при " x Î [ a, b ], то Доказательство. Т.к. f2(x) – f1(x) ³ 0 (при a < b), то по свойству 6, имеем или по свойству 2: , т.е. .
8. Теорема Барроу. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подинтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.е. Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница имеем Следовательно: Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подинтегральной функции. Действительно, если обозначить , то F ¢(x) = f(x), то очевидна справедливость формулы , которая выражает связь между определенным и неопределенным интегралами.
|