Рассмотрим методы решения систем линейных уравнений.

Метод Крамера

Теорема. Система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы отличен от нуля. Неизвестные системы находятся по формулам Крамера

где - главный определитель системы, т.е. определитель основной матрицы A, определитель неизвестного x_k, который получается при замене столбца с номером k в главном определителе на столбец свободных членов B, k=1,2, … n.

Итак, методом Крамера можно решать системы с одинаковым числом уравнений и неизвестных и отличным от нуля определителем.

Замечание. При решении методом Крамера системы 3-х уравнений с тремя неизвестными потребовалось вычислить 4 определителя 3-го порядка. При решении систем, например, 4-го порядка уже потребуется вычислять пять определителей 4-го порядка, что громоздко и нерационально. Поэтому целесообразно решать методом Крамера системы не выше 3-го порядка.

Матричный метод

Система линейных уравнений может быть кратко записана в виде матричного уравнения A*X=B.

В этом нетрудно убедиться, перемножив матрицы A и X системы и приравняв к матрице B. (Матрицы равны, если равны их соответствующие элементы.)

Решение системы имеет следующий вид:

X=A^-1*B

Таким образом, решение системы состоит из двух этапов.

1. Нахождение матрицы, обратной основной матрице системы;

2. Умножение полученной обратной матрицы на матрицу-столбец свободных членов.

Так как нахождение обратной матрицы связано с вычислением определителя, то матричным методом можно решать системы, имеющие невырожденную основную матрицу.

Замечание. Решение систем матричным методом нецелесообразно проводить для случая n > 3, так как при нахождении обратной матрицы, уже для матрицы 4-го порядка, придется вычислять 16 определителей 3-го порядка. Кроме того, система должна иметь одинаковое число уравнений и неизвестных и отличный от нуля определитель основной матрицы. Т.е. матричный метод имеет те же преимущества (простота решения систем невысокого порядка) и те же недостатки, что и метод Крамера.

Рассмотрим метод решения линейных систем с любым числом уравнений и неизвестных (который является универсальным)- метод последовательного исключения неизвестных или

Метод Гаусса.

Суть метода состоит в том, что путем элементарных преобразований из всех уравнений системы, кроме первого, исключаем неизвестное x ₁, далее из всех уравнений, кроме первого и второго, исключаем неизвестное x ₂, и т.д. На практике принято все эти действия проводить не над уравнениями системы, а над строками расширенной матрицы. К элементарным относятся следующие преобразования:

1) умножение (деление) на число, отличное от нуля, элементов какой-либо строки;

2) сложение элементов какой-либо строки с соответствующими элементами другой строки, предварительно умноженными на ненулевое число;

2) перестановка строк матрицы;

3) вычеркивание из матрицы нулевых строк, одной из двух одинаковых строк, одной из двух пропорциональных строк, вычеркиваются строки, линейно-зависимые от других строк.

В результате элементарных преобразований получается матрица, эквивалентная исходной, т.е. матрица, имеющая такой же ранг. На ее основе составляется система, эквивалентная исходной, но более простая в решении и анализе, так как в последнем уравнении останется только одно неизвестное, в предпоследнем два и т.д. Этот процесс называется прямым ходом метода Гаусса. Отметим, что параллельно при этом решается вопрос о совместности системы и количестве решений (единственное или бесконечное множество.)

Обратный ход состоит в следующем: из последнего уравнения находим единственное входящее в него неизвестное, подставляем полученное значение в предпоследнее уравнение и находим второе неизвестное и т.д. пока не дойдем до первого уравнения, в котором уже найдены все неизвестные, кроме одного. Таким образом получим совокупность значений неизвестных, образующих решение системы.