![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Метод конечных элементовЛекции 10-12 Метод конечных элементов Метод конечных элементов
И вот, наконец, мы подошли к главной цели этого параграфа: обсуждению метода конечных элементов (МКЭ). Сразу следует сказать, что МКЭ представляет собой вариант метода Бубнова-Галеркина. Особенность МКЭ заключается в своеобразном выборе системы аппроксимирующих функций. В предыдущем пункте было показано, что метод Бубнова-Галеркина дает наилучшие результаты. Однако метод этот достаточно трудоемок, поскольку требует вычисления интегралов. В рассмотренном примере это интегралы вида: При решении не одномерных, а двух- и трехмерных задач трудоемкость вычисления таких интегралов многократно возрастает. Дело в том, что интегралы эти придется вычислять по всей области решения. А эта область может представлять собой фигуру очень сложной формы. Кроме того, большие сложности будут с выбором аппроксимирующих функций, которые, как отмечалось в самом начале этого раздела, должны удовлетворять заданным граничным условиям. Граница же двумерной области может быть кривой достаточно сложной формы. Так вот, именно принятый в МКЭ выбор аппроксимирующих функций позволяет очень просто преодолеть обе эти сложности: 1) вычисление интегралов по области решения произвольной формы; 2) удовлетворение решения граничным условиям. Сначала рассмотрим детально конечно-элементный подход на нашем примере одномерной задачи (1) Область решения (отрезок [0,1]) разбивается на отрезки (см рис.14). Эти отрезки и называются конечными элементами (на рисунке они пронумерованы цифрами в кружках). Сразу отметим, что размеры этих конечных элементов могут быть произвольными. В отличие от метода конечных разностей, в методе конечных элементов неравномерность сетки разбиения не приводит к усложнению вычислений. Точки на границах конечных элементов называются узловыми точками или узлами. Теперь, пожалуй, самое главное – выбор системы аппроксимирующих функций, которые должны представить приближенное решение в виде:
Функции эти выбираются следующим образом. Значение функции
Линейная комбинация таких функций, очевидно, представляет собой ломаную линию (см рис15). Отметим, что при таком выборе функций На рис.15 показано 5 аппроксимирующих функций Теперь, после этих предварительных замечаний, можно приступить к построению конечно-элементных уравнений. Поскольку, как было объявлено выше, МКЭ является частным случаем метода Бубнова-Галеркина, то эти уравнения должны следовать из уравнений взвешенных невязок (32):
Однако, согласно (33), Возникает впечатление, что кусочно-линейные функции нельзя использовать для уравнения (1). Чтобы вторая производная Однако, функции, изображенные на рис.15, выглядят очень соблазнительно из-за своей простоты. Кроме того, ломаной линией, как известно, можно с высокой точностью отобразить любую непрерывную кривую. Поэтому было бы неплохо все-таки найти способ использовать для приближенного решения именно эти функции. Такой способ действительно имеется. Заключается он в применении метода Бубнова-Галеркина в так называемой ослабленной формулировке (см [5]). Для одномерной задачи эта процедура предельно проста. Преобразуем уравнения невязок (34), выполняя интегрирование по частям:
Теперь в (35) можно подставить
Систему уравнений взвешенных невязок (36), как обычно, представим в матричном виде:
где
Здесь следует обратить внимание на первое слагаемое Еще одно важное замечание по поводу этого слагаемого. Очевидно, пока система (36) не решена, нам неизвестно ни Теперь осталось вычислить значения элементов матрицы
Рассмотрим особенности структуры матриц элементов на примере матрицы 2-го элемента: Но, как можно видеть на рис.15, в пределах второго элемента из всех функций
Не равные нулю элементы расположены на пересечении 2-х и 3-х строк и столбцов, то есть с номерами узлов, принадлежащих этому элементу.
Чаще всего именно эти матрицы называют матрицами конечных элементов, а матрицы вида (39) – расширенными матрицами элементов. Заметим что матрица (41) вместе с парой чисел Пара чисел
часто называется индексным вектором. Матрица элемента вместе с индексным вектором фактически представляет собой компактную запись полной (расширенной) матрицы элемента. Получим общее выражение для матрицы (41) произвольного
Тогда на Интегралы, входящие в (41), таким образом: Таким образом, матрица элемента (41) для нашей задачи имеет вид:
Если для решения нашей задачи (1) мы выберем одинаковые конечные элементы
а индексные вектора: Соответствующие расширенные матрицы: Складывая эти матрицы, в соответствии с (38), получим: Аналогично и для вектора правых частей Например, для элемента № 2: Для остальных элементов:
В развернутом виде система (36), таким образом имеет вид: Как уже отмечалось выше, значения Решение этой системы: В следующей таблице приведены результаты, полученные по МКЭ с сравнении с результатами, полученными другими методами. Таблица 7
Как видите, значения искомой функции в узловых точках определены без малейшей погрешности. Сразу следует предупредить, что такая сверхвысокая точность обеспечивается МКЭ только для некоторых, относительно простых видов уравнений.
Кроме того напомним, что принятая система аппроксимирующих функций обеспечивает кусочно-линейную аппроксимацию (см рис.15). На рис.18 приведены графики точного (линия 1) и приближенного (линия2) решения, полученного по методу конечных элементов. Из этих графиков видно, что приближенное решение совпадает с точным в узловых точках, но в остальных точках имеется погрешность. Рис.18
|