Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Производные высших порядков.Пусть задана любая дифференцируемая f(x). y¢=f¢(x) есть также функция x. Поэтому можно ставить вопрос об отыскании производной и от этой функции. Определение. Производную от производной данной функции, если она существует, называют производной второго порядка или второй производной и обозначают символом y¢¢=f¢¢(x). Таким образом (y¢)¢=y¢¢=f¢¢(x). В связи с этим y¢=f¢(x) в дальнейшем будем называть производной первого порядка или первой производной. Вторая производная имеет простой механический смысл. Если задан закон прямолинейного движения материальной точки S=f(t) Þ v=S¢=f¢(t) - есть мгновенная скорость движения. Вторая же производная от пути по времени, как производная от скорости, есть скорость изменения скорости движения, то есть ускорение w =v¢=S¢¢=f¢¢(t). Аналогично можно ввести производные более высоких порядков: y¢¢¢ - производная 3-го порядка, y(IV) - 4-го и так далее. Вообще говоря производной порядка n+1 от f(x) называют производную от производной n -го порядка для f(x): (y(n))¢=y(n+1)= f(n+1)(x) В силу принятого определения производная m порядка от производной n порядка равна производной n+m порядка (при условии существования всех производных): (y(n)) (m)=y(n+m)= f(n+m)(x) Примеры. 1. y=ek×x Þ y(n)=knek×x 2. y=sin x, y¢=cos x=sin(x+p/2) Þ y¢¢=(sin(x+p/2))¢= sin(x+p/2+p/2) … y(n)=sin(x+p×n/2) Аналогично, (cos x)(n)=cos(x+p×n/2) 3. 4. y=xn, nÎN, Þ y(n)=n! При дифференцировании неявно заданных функций F(x,y) мы установили, что y¢ =Ф(x,y) Так как y¢¢=(y¢)¢ Þ y¢¢= Ф¢(x,y(x)),то есть нужно взять производную от Ф по x, считая y=y(x). В результате мы получим y¢¢=y(x,y,y¢)=y(x,y,Ф(x,y))=y(x,y), то есть опять y¢¢ будет функцией только x и y. Этот процесс, при условии существования всех производных, может быть продолжен.
Пусть теперь функция задана параметрически: y=y(y), x=j(t) Þ
Так как y¢¢xx=(y¢x)¢x, то вопрос сводится к отысканию производной по x от y¢x=F(t), когда x=j(t), то есть опять от функции, заданной параметрически: Применяя правило вторично, получим
Для отыскания производных 3-го и более высших порядков поступают аналогично:
|