![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Приближенные математические модели технических объектов. Метод конечных разностей.
Точные решения дифференциальных краевых задач удается получить лишь для немногих частных случаев. Проектирование технических объектов на микроуровне осуществляют на основе приближенных математических моделей, получаемых путем аппроксимации исходных моделей. Так же поступают и при решении большинства исследовательских задач. Аппроксимация осуществляется посредством дискретизации и алгебраизации дифференциальной краевой задачи. Дискретизация представляет собой замену областей непрерывного изменения пространственных координат Используя значения функции в узлах сетки, можно через них приближенно выразить частные производные дифференциальных уравнений, описывающих исследуемый процесс технического объекта и краевые условия. Тогда дифференциальные уравнения в частных производных преобразуются в алгебраические уравнения. В этом заключается суть алгебраизации дифференциальной краевой задачи. Приближенные математические модели технических объектов на микроуровне получают на основе методов сеток. В зависимости от способов осуществления дискретизации и алгебраизации краевых задач различают два метода сеток: метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). Рассмотрим основные особенности этих методов. В МКР дискретизация задачи заключается в покрытии области Рис. 1. Дискретизация области определения объекта моделирования с помощью сетки (а) и аппроксимация границы области (б) между узлами (шагами сетки). Наиболее часто используют сетку с постоянными величинами шагов. Такую сетку называют регулярной. На рис. 1, а показан пример построения сетки для двумерного объекта. Шаги сетки вдоль координатных соей х и у обозначены соответственно Алгебраизация задачи в МКР выполняется путем замены дифференциального уравнения разностным. При этом частные производные При использовании МКР возникают сложности в обеспечении точности математического описания граничных условий. В общем случае геометрическая область определения объекта Е может иметь сложную форму границы S. Тогда граничные узлы отстоят от ближайших к ним внутренних узлов на расстояния, меньше шага сетки (рис. 1, б). Это приводит к необходимости либо отказа от регулярной сетки, либо замены действительной линии образующей граничной поверхности S ломаной линией S'. В любом варианте значительно осложняется моделирование технического объекта. Метод конечных разностей. Представим дифференциальное уравнение в следующем виде:
где Дифференциальный оператор Выполним алгебраизацию уравнения (1), полагая, что технический объект одномерный и моделируемый процесс стационарный, т.е Осуществим дискретизацию независимой переменной х, введя сетку с постоянным шагом h, и заменим частную производную
Подставляя выражение (2.62) в исходное дифференциальное уравнение, получаем разностное уравнение
Пронумеруем узлы сетки от 0 до n+1. Узлы с номерами 0 и n+1 будут граничными, а узлы
В системе уравнений (4) они также должны быть подвергнуты конечно-разностной аппроксимации. Решив систему алгебраических уравнений совместно с разностными уравнениями граничных условий, найдем дискретный ряд значений функции ф во всех внутренних узлах сетки, т.е.значения Аппроксимация частной производной Направления осей координат на рис. 2 выбраны таким образом, чтобы полученные результаты вычислений функции Шаблоны, показанные на рис. 2 а, б, в, позволяют составить выражения соответственно правой, левой и центральной конечно-разностных аппроксимаций производной
Для второй производной, согласно рис. 2, г, получаем (8) В выражениях (5) — (8) индекс iпри искомой переменной Шаблоны, показанные на рис. 2, д — ж, используются при решении двумерных задач. Сетка в этом случае разделяет объект на вертикальные слои вдоль координаты х и на горизонтальные слои вдоль координаты у, отделяя слои друг от друга соответствующими плоскостями (вертикальными и горизонтальными). Координаты этих плоскостей обозначены соответственно сетки находятся на пересечениях вертикальных и горизонтальных плоскостей, а их расположение на координатной плоскости хОу определяется двумя координатами: по оси х и по оси у. В результате искомая переменная
где
Подстановка выбранных аппроксимаций производных в исходное уравнение (1) и в уравнения граничных условий преобразует их для стационарной задачи в систему разностных уравнений
а для нестационарной — в систему обыкновенных дифференциальных уравнений
где Традиционно МКР применяют при моделировании движения жидкостей и газов в трубопроводах и теплообменных процессов. Рассмотрим примеры применения МКР для моделирования теплопередачи в одномерных и двумерных теплотехнических объектах. Пример 2.1. Аппроксимировать исходную математическую модель одномерного теплового объекта при стационарной теплопередаче, полагая отсутствие в нем внутренних источников. Дифференциальное уравнение теплопроводности в этом случае Если объектом является изотропное тело,
Если объект представляет собой стержень постоянного сечения и состоит из участков, изготовленных из материалов, различающихся физическими свойствами, то для аппроксимации частной производной Математическая модель теплопередачи в этом случае должна также учитывать различие коэффициента температуропроводности Введем обозначение
Очевидно, что уравнение (14) является частным случаем уравнения (15) при
Для определения значений функции Т в граничных точках, т.е. Т0 и необходимо использовать уравнения граничных условий. Рассмотрим решение задачи для двух вариантов граничных условий: первого рода и третьего рода при конвективном теплообмене с окружающей средой. Граничные условия первого рода. В одномерном случае при стационарной теплопередаче задаются значения Граничные условия третьего рода при конвективном теплообмене. В одномерном случае для левой и правой граничных поверхностей получаем следующие выражения:
где Предположим, что Тс1 > Тс2. Тогда градиент температуры в левом граничном слое будет отрицательным, а в правом — положительным. Учитывая это и используя выражение конечно-разностной аппроксимации (15), получаем Из этих выражений находим
Значения функции Т в граничных узлах, определяемые выражениями (20) и (21), необходимо подставить в систему уравнений (16). Решение этой системы позволяет получить искомые значения температуры во всех внутренних узлах объекта. В одномерной нестационарной задаче уравнение теплопроводности имеет вид Пример 2. Аппроксимировать исходную математическую модель двумерного теплового объекта.
Рис. 3 Схема к примеру 2
Пусть объект представляет собой изотропное тело
При дискретизации объекта используем прямоугольную сетку с шагами h х и h у вдоль осей координат х и у. Если Подставим эти выражения в уравнение (2.82):
где Порядок полученной системы алгебраических уравнений (23) равен Используя выражения (23), составим уравнения для всех узлов с номерами
где Для узлов с номерами
где T20 — значение Т в узле с координатами х = 2hХ; у = 0; Остальные уравнения составляются аналогично. Количество таких систем уравнений равно п. Для решения системы алгебраических уравнений (2.83) уравнения (24), (25) и др. необходимо привести к виду (17), т.е. заменить матрицу искомых функций
|