Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Первый признак сравнения рядов.Пусть и - два знакоположительных числовых ряда и выполняется неравенство для всех k = 1, 2, 3,... Тогда из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость .
Решение. Так как предел общего члена ряда равен нулю , то необходимое условие сходимости ряда выполнено. Несложно заметить, что справедливо неравенство для всех натуральных k. Мы знаем, что гармонический ряд расходится, следовательно, по первому признаку сравнения исходный ряд также является расходящимся.
Исследуйте числовой ряд на сходимость. Решение. Необходимое условие сходимости числового ряда выполняется, так как . Очевидно выполнение неравенства для любого натурального значения k. Ряд сходится, так как обобщенно гармонический ряд является сходящимся для s > 1. Таким образом, первый признак сравнения рядов позволяет констатировать сходимость исходного числового ряда.
Определите сходимость или расходимость числового ряда . Решение. , следовательно, необходимое условие сходимости числового ряда выполнено. Какой ряд выбрать для сравнения? Напрашивается числовой ряд , а чтобы определиться с s, внимательно исследуем числовую последовательность . Члены числовой последовательности возрастают к бесконечности. Таким образом, начиная с некоторого номера N (а именно, с N = 1619), члены этой последовательности будут больше 2. Начиная с этого номера N, справедливо неравенство . Числовой ряд сходится в силу первого свойства сходящихся рядов, так как получается из сходящегося ряда отбрасыванием первых N – 1 члена. Таким образом, по первому признаку сравнения сходящимся является ряд , а в силу первого свойства сходящихся числовых рядов сходится будет и ряд .
Пусть и - знакоположительные числовые ряды. Если , то из сходимости ряда следует сходимость . Если , то из расходимости числового ряда следует расходимость .
Если и , то из сходимости одного ряда следует сходимость другого, а из расходимости следует расходимость.
Таким образом, по второму признаку сравнения из сходимости числового ряда следует сходимость исходного ряда.
Пример. Исследовать на сходимость числовой ряд . Решение. Проверим необходимое условие сходимости ряда . Условие выполнено. Для применения второго признака сравнения возьмем гармонический ряд . Найдем предел отношения k-ых членов: Следовательно, из расходимости гармонического ряда следует расходимость исходного ряда по второму признаку сравнения.
Пусть и - знакоположительные числовые ряды. Если с некоторого номера N выполняется условие , то из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость .
|