Главная
Случайная страница
Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Основные методы решения уравнений
Что такое решение уравнения?
Тождественное преобразование. Основные
виды тождественных преобразований.
Посторонний корень. Потеря корня.
Решение уравнения – это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным. Такая замена называется тождественным преобразованием. Основные тождественные преобразования следующие:
1.
| Замена одного выражения другим, тождественно равным ему. Например, уравнение (3 x+ 2) 2 = 15 x+ 10 можно заменить следующим равносильным: 9 x 2 + 12 x + 4 = 15 x + 10.
| 2.
| Перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками. Так, в предыдущем уравнении мы можем перенести все его члены из правой части в левую со знаком «–»: 9 x 2 + 12 x + 4 – 15 x – 10 = 0, после чего получим: 9 x 2 – 3 x – 6 = 0.
| 3.
| Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля. Это очень важно, так как новое уравнение может не быть равносильным предыдущему, если выражение, на которое мы умножаем или делим, может быть равно нулю.
П р и м е р. Уравнение x – 1 = 0 имеет единственный корень x = 1.
Умножив обе его части на x – 3, мы получим уравнение
(x – 1)(x – 3) = 0, у которого два корня: x = 1 и x = 3.
Последнее значение не является корнем заданного уравнения
x – 1 = 0. Это так называемый посторонний корень.
И наоборот, деление может привести к потере корня. Так
в нашем случае, если (x – 1)(x – 3) = 0 является исходным
уравнением, то корень x = 3 будет потерян при делении
обеих частей уравнения на x – 3.
В последнем уравнении (п.2) мы можем разделить все его члены на 3 (не ноль!) и окончательно получим:
3 x 2 – x – 2 = 0.
Это уравнение равносильно исходному:
(3 x+ 2)2 = 15 x + 10.
| 4.
| Можно возвести обе части уравнения в нечётную степень или извлечь из обеих частей уравнения корень нечётной степени. Необходимо помнить, что:
а) возведение в чётную степень может привести к приобретению посторонних корней;
б) неправильное извлечение корня чётной степени может привести к потере корней.
П р и м е р ы. Уравнение 7 x = 35имеет единственный корень x =5.
Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим
уравнение:
49 x 2= 1225.
имеющее два корня: x =5и x = – 5. Последнее значение
является посторонним корнем.
Неправильное извлечение квадратного корня из обеих
частей уравнения 49 x 2= 1225 даёт в результате 7 x = 35,
и мы теряем корень x = – 5.
Правильное извлечение квадратного корня приводит к
уравнению: | 7 x | = 35,аследовательно, к двум случаям:
1) 7 x = 35,тогда x =5;2) – 7 x = 35,тогда x = – 5.
Следовательно, при правильном извлечении квадратного
корня мы не теряем корней уравнения.
Что значит правильно извлечь корень? Здесь мы встречаемся
с очень важным понятием арифметического корня
(см. параграф "Арифметический корень").
|
|