Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Нормальная форма уравнений в пространстве состояний
Нормальная форма уравнений в пространстве состояний получается из стандартной формы (10.1) посредством преобразования подобия. При этом предполагается, что собственные числа матрицы А различные. Введем линейное преобразование
X=MQ, (10.32)
где М - модальная матрица матрицы А. Уравнения (10.1) перепишем
. (10.33)
Умножив первое уравнение из (10.33) слева на М-1, получим
. (10.34) Так как M - модальная матрица, то
М-1АМ = L = - диагональная матрица; где li (при i = 1, 2,..., n) - собственные числа матрицы А. Следовательно, можно записать
, (10.35)
где L=М-1АМ, Вn= М-1B, Cn=CM, Dn=D - матрицы; Q=[q1,q2,...,qn]T - вектор состояния системы, элементами которого являются новые переменные состояния qi (при i=1, 2,..., n). Система (10.35) представляет собой нормальную форму уравнений описания систем управления в пространстве состояний. Нормальная форма уравнений состояния позволяет декомпозировать многосвязную систему n-го порядка на n взаимонесвязанных систем, при этом дифференциальные уравнения становятся развязанными относительно переменных состояния q1,q2,...,qn, т.е. они имеют вид , (10.36)
где fi - внешнее воздействие на i-ю переменную состояния. Таким образом, переход к нормальной форме существенно упрощает исследование многосвязных систем. В случае кратных собственных чисел матрицы A диагональная матрица L заменяется матрицей J, которая строится из клеток Жордана, например, . (10.37) Таким образом, из сравнения уравнений (10.1) и (10.35) следует, что при математическом описании одного и того же динамического процесса различному выбору переменных состояния соответствуют различные матрицы системы, управления, наблюдения, связи и различные векторные дифференциальные уравнения, каждое из которых полностью определяет выходную величину системы.
Пример. Написать уравнения состояний в нормальной форме для динамической системы, представленной на рис.10.3.
Рис. 10.3. Структурная схема системы в переменных состояния Решение. Выберем в качестве переменных состояния системы сигналы на выходах интеграторов x1 и x2. В этом случае структурной схеме (рис.10.3) соответствует следующая система уравнений (стан-дартная форма) Откуда матрицы
, , , D=[2].
Собственные числа матрицы A: l1= -1, l2= -2.
Модальная матрица M= и M-1= .
Тогда диагональная матрица системы, матрица управления, матрица наблюдения и матрица связи будут
L= , Вn= М-1B= , Cn=CM=[-1 -1], Dn=D=[2]. Отсюда получаем уравнения состояний системы в нормальной форме , которым соответствует структурная схема системы, приведенная на рис.10.4. Рис. 10.4. Структурная схема системы в переменных состояния по полюсам
|