Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Возрастающие и убывающие функцииПусть на отрезке [ a, b ] определена непрерывная функция f(x). Далее, пусть , , < - произвольные числа из промежутка [ a, b ]. Функция f(x) называется на промежутке [ a, b ]: · неубывающей, если выполняется неравенство f() f(); · возрастающей, если выполняется неравенство f() < f() (рис. 2.11); · невозрастающей, если выполняется неравенство f() f(); · убывающей, если выполняется неравенство f()>f() (рис.2.12).
Рис. 2.11 Рис. 2.12 Пусть функция f(x) имеет внутри промежутка [ a, b ] конечную производную. Тогда: 1) Для того, чтобы f(x) была неубывающей (невозрастающей) на [ a, b ], необходимо и достаточно, чтобы для любого выполнялось неравенство (); 2) Для того, чтобы f(x) была возрастающей (убывающей), необходимо и достаточно, чтобы для любого выполнялось неравенство (). РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПРИМЕР 1. Определить промежутки возрастания и убывания функций: 1. f(x) = ; 2. f(x) = ; 3. f(x) = ; Решение. 1. Решение задачи сводится к нахождению промежутков, где производная функции сохраняет знак. Находим производную: . Знак производной определяется знаком квадратного трехчлена , где = -1 и = 4 – корни трехчлена. Так как коэффициент при -- положительное число, то имеют место неравенства: (x +1)(x -4)>0 для x <-1; (x +1)(x -4)<0 для -1< x <4; (x +1)(x -4)>0 для x >4. Поэтому промежутки (- ,-1) и (4,+ ) являются промежутками возрастания, а промежуток
2. Производная имеет вид: . Знак производной определяется знаком выражения x (2- x), так как для любого . Очевидны неравенства: x (2- x)<0 для - < x <0, x (2- x)>0 для 0< x <2, x (2- x)<0 для 2< x <+ Поэтому на промежутках (- ,0) и (2,+ ) функция f(x) убывает, а на промежутке (0,2) возрастает. 3. Производная функции равна: Так как 1+ >0 для , то знак производной определяется выражением 1- , при этом 1- <0 для - < x <-1, 1- >0 для -1< x <1, 1- <0 для 1< x <+ . Поэтому на промежутках (- ,-1) и (1,+ ) функция убывает, а на промежутке (-1,1) возрастает. УПРАЖНЕНИЯ Найти промежутки возрастания и убывания следующих функций: 2.60. f(x) = ln(1- ); 2.61. f(x) = 4 ; 2.62. f(x) = ; 2.63. f(x) = ; 2.64. f(x) = ; 2.65. f(x) = ; 2.66. f(x) = 2.67. 2.68. 2.69. 2.70. 2.71. 2.72.
Ответы к упражнениям 2.60. (-1;0) – промежуток возрастания, (0;1) – промежуток убывания; 2.61. (- ;0.5) и (3;+ ) – промежутки возрастания, (0.5;3) – промежуток убывания; 2.62. (- ;1.5) – промежуток возрастания, (1.5;+ ) – промежуток убывания; 2.63. (- ;-2- ) и (-2+ ;+ ) – интервалы возрастания, (-2- ;-2) и (-2;-2+ ) – промежутки убывания; 2.64. (-1;0.5) и (5;+ ) – промежутки возрастания, (- ;-1) и (0.5;5) – промежутки убывания; 2.65. (1;+ ) – промежуток возрастания, (0; ) и (;1) – промежутки убывания; 2.66. ()- промежуток возрастания, ()- промежуток убывания. 2.67. функция возрастает на промежутке и убывает на промежутках . 2.68. функция возрастает на всей числовой оси. 2.69. функция возрастает на промежутках и и убывает на промежутках . 2.70. функция возрастает на всей числовой оси. 2.71. функция возрастает при и и убывает при . 2.72. функция возрастает при и убывает при .
|