Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Цель: сформировать умение применять формулы интерполирования функции при решении задачИнтерполяционный полином Лагранжа. Пусть дана таблица значений
Требуется составить полином (функцию) y = f (x) степени m ≤ n – 1, который принимал бы заданные значения yi при соответствующих значениях xi: yi = f (xi) (i = 1, 2, 3, ………n). Иными словами график функции должен проходить через заданные точки M (xi; yi) Данная задача выполнима при использовании интерполяционного полинома Лагранжа: + +...... ....+ (1) или (2)
где - вспомогательная функция п -й степени, в которой xi – заданные табличные значения аргумента. Пример 1: Составить полином Лагранжа, удовлетворяющий таблице значений
Решение. Вспомогательная функция Вычислим последовательно при данных значениях х: = (х - 2)(х - 3)(х - 4)+(х - 1)(х - 3)(х - 4)+(х - 1)(х - 2)(х - 4)+(х - 1)(х - 2)(х - 3); , , , . Тогда по формуле (1) == х + 1 Таким образом, в данном случае в качестве интерполяционного полинома найдена линейная функция f (x) = х + 1. Интерполяционная формула Ньютона. Пусть у0, у1, у2,....... – значения некоторой функции y = f (x), соответствующие равноотстоящим значениям аргументам х0, х1, х2,....... (т.е. хk+1 – xk = Δ x = const). Введем обозначения: Δ у0 = у1 – у0, Δ у1 = у2 – у1, Δ у2 = у3 – у2,........., Δ уп-1 = уп – уп-1 - разности первого порядка данной функции; Δ2 у0 = Δ у1 – Δ у0, Δ2 у1 = Δ у2 – Δ у1,............. – разности второго порядка ........................................................................ Δ п+1у0 = Δ пу1 – Δ пу0, Δ п+1у1 = Δ пу2 – Δ пу1,............. – разности (п+ 1)- го порядка Производя последовательные подстановки, получим: Δ2 у0 = у2 -2у1 + у0, Δ3 у0 = у3 -3у2 +3 у1 – у0 ,........ Подобным же образом получаем: у1 = у0 + Δ у0, у2 = у0 + 2 Δ у0 + Δ2 у0, у3 = у0 + 3 Δ у0 + 3 Δ2 у0 + Δ3 у0,...... (3) Запишем таблицу разностей: х0 у0 Δ у0 х1 у1 Δ2 у0 Δ у1 Δ3 у0 х2 у2 Δ2 у1 Δ4 у0 Δ у2 Δ3 у1 х3 у3 Δ2 у2 Δ у3 х4 у4 .................................................... Если в формуле (3) положить, что п – не только целое и положительное число, а может быть любым п = t, то получим интерполяционную формулу Ньютона (4) Мы получили такую функцию от t, которая обращается при t = 0 в у0, при t = 1 в у1 , при t = 2 в у2 и т. д. Поскольку последующее значение аргумента х при постоянном шаге h определяется формулой xn = x0 + nh, то . Тогда, полагая x = x0 + th, приведем формулу (3) к виду (3*)
Пример 2: Из таблицы Найти значение у при х = 3,1, пользуясь интерполяционной формулой Ньютона. Решение. Составим таблицу разностей:
Здесь х0 = 3, х = 3,1, h = 1. Тогда Интерполяционная формула Ньютона (4) для этого случая: Следовательно , т.е. при х = 3,1 у = 13,71 Интерполяционная функция Ньютона (3*) Содержание практической работы
(Ответ: у = (х4 - 26х3 + 220х2 – 664х + 640))
(Ответ: у = (- 2х3 -15х2 + 25х -9))
(Ответ: у = (х3 -13х2 + 69х -92))
(Ответ: у =2х - 1)
(Ответ: у = 4х2 - 7х+ 9)
(Ответ: у =8 + 4(х - 3) + (х – 3)(х - 2)+ (х – 3)(х - 2)(х – 1) + (х – 3)(х - 2)(х – 1)х, f(-0,5)= 0,700, f(2,5)= 5,658.)
Практическая работа №25
|