Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Методика розв’язування задачРозглянемо два типи задач, коли на тілі, що обертається, розташовані тіла, які вважаємо матеріальними точками: а) розташування тіл у механічній системі не змінюється при дії на неї моменту зовнішніх сил: 1. Суміщаємо вісь з віссю обертання твердого тіла (платформи). 2. Знаходимо проекції моменту імпульсу механічної системи для початкового стану, коли тіла нерухомі відносно платформи , (1) де – момент інерції платформи відносно осі , –початкова кутова швидкість, та – маси та віддалі тіл (які вважаємо матеріальними точками) від осі (). 2. Обчислюємо зміну моменту імпульсу за рахунок моменту зовнішніх сил протягом заданого часу . (2) 3. На підставі теореми про зміну моменту імпульсу записуємо рівняння , (3) з якого знаходимо кінцеву кутову швидкість системи. б) на систему не діє момент зовнішніх тіл, але в системі відбувається рух тіл, які входять у систему: 1. Суміщаємо вісь з віссю обертання твердого тіла (платформи). 2) Знаходимо проекцію моменту імпульсу механічної системи для початкового стану, коли тіла нерухомі відносно платформи , (4) де – момент інерції платформи відносно осі , – початкова кутова швидкість, та – маси та віддалі тіл (які вважаємо матеріальними точками) від осі (). 3. Знаходимо момент імпульсу механічної системи для моменту часу , коли точки системи рухаються відносно платформи. В цьому випадку абсолютну швидкість кожної точки системи знаходимо за формулою складання швидкостей складного руху . (5) Тому для моменту імпульсу рухомої матеріальної точки записуємо + . Вважаючи, що напрям обертання не змінюється, для кінцевого значення компонента моменту імпульсу механічної системи отримуємо , (6) де – віддаль від осі обертання до лінії, вздовж якої напрямлений вектор переносної швидкості ; – віддаль від осі обертання до лінії, вздовж якої напрямлений вектор відносної швидкості . Оскільки для переносної швидкості точки , де – відстань точки від осі обертання для моменту часу , тоді з рівняння (6) отримуємо . (7) 4. Прирівнюючи вирази (4) та (7) отримаємо рівняння , звідки знаходимо кінцеву кутову швидкість обертання . Приклад 1. Однорідний диск маса якого = 400 кг і радіус = 5 м обертається навколо фіксованої осі, яка проходить через його центр перпендикулярно до його площини з початковою кутовою швидкістю = 4 рад/с (рис. 3.3). На відстані м від осі обертання в стані спокою знаходиться механізм масою = 150 кг. В момент часу = 0 починає діяти момент зовнішніх сил . Визначити кутову швидкість обертання тіла в момент часу с. Далі тіло обертається за інерцією з досягнутим значенням кутової швидкості. В деякий новий момент часу самохідний механізм переміщується в нове положення на відстань = 2 м від центру диску та зупиняється. Вважаючи механізм матеріальною точкою, знайти кутову швидкість диску на цей момент, нехтуючи тертям у підшипниках. Розв’язання. Розглянемо рух механічної системи, сумістивши вісь системи відліку з віссю обертання диску. Скористаємося теоремою про зміну моменту імпульсу механічної системи , де – - компонент моменту імпульсу системи, який складається з диска та механізму; - головний момент зовнішніх сил, прикладений до системи, відносно осі . Сили, які діють на систему - це сили тяжіння та , реакції підп’ятника та підшипника і пара сил з моментом . Сили тяжіння спрямовані паралельно осі обертання і, відповідно, їхні моменти відносно цієї осі дорівнюють нулю. Не створюють моменту і сили реакції, бо вони перетинають вісь . Отже, головний момент зовнішніх сил дорівнює моменту . Момент імпульсу системи є сумою моментів імпульсів її елементів. Момент імпульсу диску, який має момент інерції відносно осі та обертається навколо неї з кутовою швидкістю визначається за формулою , в який - момент інерції диску відносно осі обертання. Для матеріальної точки, згідно з визначенням (3.1) запишемо проекцію її моменту імпульсу на вісь як , де - радіус-вектор, який проведено від осі обертання до точки, а - абсолютна швидкість точки. Якщо точка не рухається відносно диску , то абсолютна швидкість точки, дорівнює її переносній швидкості, яка визначається за формулою Ейлера , отже . Таким чином проекція моменту імпульсу системи на вісь може бути записана у вигляді , а рівняння зміни моменту імпульсу під дією зовнішнього моменту сил приймає вигляд . Розділимо змінні та зінтегруємо праву та ліву частини рівняння , та отримуємо . Підставляючи чисельні значення, знаходимо (рад/c). Після того, як перестав діяти момент зовнішніх сил , диск обертається у відсутності сил тертя за інерцією. Така ситуація дає можливість скористатись теоремою про збереження моменту імпульсу відносно цієї осі , де та - відповідно - компоненти початкового і кінцевого моменту імпульсу системи. Прирівнюючи отримані вирази для моменту імпульсу системи у початковий та кінцевий моменти часу маємо = , що дозволяє отримати вираз для розрахунку кінцевої кутової швидкості обертання диску . Підставляючи чисельні значення, знаходимо (рад/c). Відповідь: = 4,6 рад/с. Приклад 2. Однорідний диск маса якого = 300 кг і радіус = 8 м обертається навколо фіксованої осі, яка проходить через його центр перпендикулярно до його площини з кутовою швидкістю = 5 рад/с. На відстані = 7 м від центру диску в стані спокою знаходиться механізм масою = 100 кг. В момент часу = 0 механізм починає рухатись вздовж кола незмінного радіуса за законом в напрямі обертання диску (відстань в метрах, час в секундах). Вважаючи механізм матеріальною точкою, знайти кутову швидкість диску як функцію часу та її значення на момент часу = 2 с. Розв’язання. Сумістимо вісь системи відліку з віссю обертання диску та позначимо сили, які діють на систему - це сили тяжіння диска та механізму , реакції підп’ятника та підшипника (рис. 4). Ці сили не створюють моментів відносно осі , тому скористуємось теоремою про збереження компоненти моменту імпульсу відносно цієї осі , де та початковий і кінцевий моменти імпульсу системи відповідно. Вираз для початкового моменту знайдено у попередньому прикладі . Коли механізм почне рухатися, абсолютна швидкість точки складається зі швидкості відносного та переносного рухів, яку має будь-яка точка диску завдяки обертанню диска, тому для моменту імпульсу точки маємо , де - радіус-вектор, який проведено від осі обертання до точки. Швидкість переносного руху точки у довільний момент часу , модуль відносної швидкості визначимо як першу похідну відносного переміщення точки за часом , і спрямована вона по дотичній до траєкторії відносного руху. Беручи до уваги напрям руху точки та, вважаючи, що напрям обертання диску не змінився, для абсолютної швидкості точки отримаємо . Записуємо кінцевого значення - компонента моменту імпульсу точки , і остаточно для кінцевого значення - компонента моменту імпульсу системи знайдемо , де - кінцева кутова швидкість обертання диску. Тоді з умови збереження - компоненти моменту імпульсу механічної системи отримуємо вираз для знаходження кінцевої кутової швидкості диску . Підставимо дані задачі та обчислимо значення для кінцевої кутової швидкості диску на момент часу = 2 с = 4,03 (рад/с). Відповідь: = 4,03 рад/с. Приклад 3. Квадратна однорідна платформа маса якої = 300 кг і розмір = 3 м обертається навколо фіксованої осі, що проходить через центр платформи перпендикулярно до її площини з кутовою швидкістю = 5 рад/с (рис. 3.5). Механізм масою = 50 кг знаходиться в точці в стані спокою. В момент часу = 0 починає діяти момент зовнішніх сил (Н.м) і діє протягом часу . Визначити кутову швидкість обертання тіла та її значення при = 4 с. Після цього в новий момент часу = 0 механізм починає рухатись вздовж прямої за законом (відстань в метрах, час в секундах). Вважаючи механізм матеріальною точкою, знайти кутову швидкість платформи на момент часу = 1 с. Розв’язання. Сумістимо вісь системи відліку з віссю обертання платформи та позначимо сили, які діють на систему - це сили тяжіння диска та механізму , реакції підп’ятника та підшипника та пара сил з моментом (рис.6). Головний момент зовнішніх сил визначається тільки моментом , оскільки усі вказані сили не створюють моментів відносно осі . Запишемо теорему про зміну моменту імпульсу механічної системи. . (1) де та - початковий і кінцевий моменти імпульсу системи відповідно. Знайдемо вираз для моменту імпульсу механічної системи у довільний момент часу. Він складається з моментів імпульсів платформи та нерухомого відносно платформи механізму, отже отримуємо , (2) де - момент інерції платформи відносно заданої осі обертання. Оскільки в початковий момент механізм нерухомий, то його абсолютна швидкість дорівнює переносній , тому отримуємо . (3) Підставляючи дані задачі послідовно знаходимо = 300∙(32 + 32)/3 = 1800 (кг∙м2), = 50∙2∙32∙ = 900∙ (кг∙м2/c), . Після цього обчислюємо інтеграл. (кг∙м2/c). Підставляючи отримані результати у формулу (1), отримуємо , звідки знаходимо значення кутової швидкості у заданий момент часу з врахуванням умов задачі (рад/с). Після цього моменту, згідно з умовами задачі, дія моменту зовнішніх сил припиняється і далі обертання платформи здійснюється у відсутності сил тертя. Це дає можливість скористатися теоремою про збереження моменту імпульсу відносно осі , (4) де – компонент моменту імпульсу у довільний момент часу . Вираз для згідно (3) має вигляд = . (5) Коли механізм рухається, його абсолютна швидкість дорівнює , тому вираз для компоненти моменту імпульсу системи у довільний момент часу прийме вигляд (6) де – кутова швидкість обертання платформи, та - віддалі від точки до ліній, вздовж яких напрямлені швидкості переносного руху та відносного руху , відповідно. Для обчислення виразу (6) визначаємо: 1) положення механізму на траєкторії відносного руху (м). Оскільки (м), то механізм знаходиться в точці , тобто 2) швидкість переносного руху механізму ; 3) величину . Для цього визначаємо кут з геометричних міркувань = 0,5, тоді = 1,34 (м) 4) швидкість відносного руху = 6,71 (м/с). Таким чином, вираз для кінцевого значення компоненти моменту імпульсу, з урахуванням напрямів векторів та , запишемо в вигляді . (6) Прирівнюючи вирази (4) та (6) отримуємо рівняння для визначення кутової швидкості . Звідки знаходимо = 1,4 (рад/с). Відповідь: кутова швидкість платформи = 1 рад/с, =1,4 рад/с.
|